专题十二 应用题

2013年2月

（杨浦区2013届高三一模 理科）12．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，

其中
米，
米. 为了合理利用这块钢板,将在五边 形
内截取一个矩形块
，使点
在边
上. 则矩形
面积的最大值为____ 平方米 .

.

【答案】48

【解析】设
,作
于
,所以
,在
中，
,所以
，即
。设矩形
面积所以
,则
，因为
，所以函数
在
上单调递增，所以当
时，
有最大值
平方米。

（松江区2013届高三一模 理科）21．（

“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度
（单位：千克/年）是养殖密度
（单位：尾/立方米）的函数．当
不超过4（尾/立方米）时，
的值为
（千克/年）；当
时，
是
的一次函数；当
达到
（尾/立方米）时，因缺氧等原因，
的值为
（千克/年）。

（1）当
时，求函数
的表达式；

（2）当养殖密度
为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）
可以达到最大，并求出最大值．

21．解：（1）由题意：当
时，
； …………………………2分

当
时，设
，显然
在
是减函数，

由已知得
，解得
…………………………4分

故函数
=
…………………………6分

（2）依题意并由（1）可得

………8分

当
时，
为增函数，故

； …………10分

当
时，
，

． …………………………12分

所以，当
时，
的最大值为
．

当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为
千克/立方米．

（浦东新区2013届高三一模 理科）20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形
的空地上修建一个占地面积为
的矩形
健身场地，如图点M在
上，点N在
上，且P点在斜边
上，已知
且
米，
，
.

（1）试用
表示
，并求
的取值范围；

（2）设矩形
健身场地每平方米的造价为
，再把矩形
以外（阴影部分）铺上草坪，

每平方米的造价为
（
为正常数），求总造价
关于
的函数
；

试问如何选取
的长使总造价
最低（不要求求出最低造价）.

解：（1）在
中，显然
，
，

，………………2分

矩形
的面积
，
…4分

于是
为所求.……………………………6分

（2） 矩形
健身场地造价

……………………7分

又
的面积为
，即草坪造价

，……………8分

由总造价
，

，
.…10分

，……………………………………………………11分

当且仅当
即
时等号成立，……………………………12分

此时
，解得
或
，

所以选取
的长为12米或18米时总造价
最低.………………………14分

（黄浦区2013届高三一模 理科）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．

如图所示，
是一个矩形花坛，其中AB= 6米，AD = 4米．现将矩形花坛
扩建成一个更大的矩形花园
，要求：B在
上，D在
上，对角线
过C点， 且矩形
的面积小于150平方米．

（1）设
长为
米，矩形
的面积为
平方米，试用解析式将
表示成
的函数，并写出该函数的定义域；

（2）当
的长度是多少时，矩形
的面积最小?并求最小面积．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．

解：（1）由△NDC∽△NAM，可得
，

∴
，即
，……………………3分

故
， ………………………5分

由
且
，可得
，解得
，

故所求函数的解析式为
，定义域为
． …………………………………8分

（2）令
，则由
，可得
，

故
…………………………10分

， …………………………12分

当且仅当
，即
时
．又
，故当
时，
取最小值96．

故当
的长为
时，矩形
的面积最小，最小面积为
平方米． …………14分

（长宁区2013届高三一模）21、（本题满分14分）（理）经过统计分析，公路上的车流速度
（单位：千米/小时）是车流密度
（单位：辆/千米）的函数，当公路上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当
时，车流速度
是车流密度
的一次函数.

(1)当
时，求函数
的表达式；

(2)当车流密度
为多大时，车流量（单位时间内通过公路上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）
可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）

（文）某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，又该厂职工工资固定支出12500元。

（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；

（2）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：
，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额-总的成本）

21、（理）解（1）由题意：当
时，
；

当
时，设
…………………………2分

再由已知得
解得
…………………………4分

故函数v(x)的表达式为
………………7分

（2）依题意并由（1）可得
， …………9分

当
时，
为增函数.故当x=20时，其最大值为60×20=1200；

当
时，

当且仅当
，即
时，等号成立.

所以，当
时，
在区间[20，200]上取得最大值
. …12分

综上，当
时，
在区间[0，200]上取得最大值
.

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.

…………………………14分

（文）解：（1）
………………………………………3分

由基本不等式得

当且仅当
，即
时，等号成立 ……………………6分

∴
，成本的最小值为
元． ……………………7分

（2）设总利润为
元，则

……………10分

当
时,
……………………………………………………13分

答：生产
件产品时，总利润最高，最高总利润为
元．… ……14分

（奉贤区2013届高三一模）21、某海域有
、
两个岛屿，
岛在
岛正东4海里处。经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线
，曾有渔船在距
岛、
岛距离和为8海里处发现过鱼群。以
、
所在直线为
轴，
的垂直平分线为
轴建立平面直角坐标系。

（1）求曲线
的标准方程；（6分）

（2）某日，研究人员在
、
两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），
、
两岛收到鱼群在
处反射信号的时间比为
，问你能否确定
处的位置（即点
的坐标）？（8分）

21、解（1）由题意知曲线
是以
、
为焦点且长轴长为8的椭圆 3分

又
，则
，故
5分

所以曲线
的方程是
6分

（2）由于
、
两岛收到鱼群发射信号的时间比为
，

因此设此时距
、
两岛的距离分别比为
7分

即鱼群分别距
、
两岛的距离为5海里和3海里。 8分

设
，
，由


， 10分

， 12分

13分

点
的坐标为
或
14分