一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每題给出的四个选中，只有一项是符合题目要求）

（1）复数
,
，则复数
的虚部为

A. B.
C.
D.

（2）已知集合
,
,则下列结论中不正确的是

A.
B.
C.
D.

（3）若一个底面为正三角形,侧棱与底面垂直的

棱柱的三视图如图所示,则这个棱柱的体积为

A.

B.

C.

D.

（4）圆
上的动点到直线
的最短距离为

A.
B. C.
D.

（5）正项等比数列
中,
,则
的值为

A.
B. C.
D.

（6）如果过曲线
上的点处切线平行于直线
,那么点的坐标为

A.
B.
C.
D.

（7）已知函数
,若存在
使得
恒成立,则

A.
B.
C.
D.

（8）若奇函数
在上是增函数,且
,则有

A.
B.

C.
D.

（9）在球
内任取一点,则点在球
的内接正方体中的概率是

A.
B.
C.
D.

（10）设点
满足
,
是坐标原点,则
的最小值为

A. B.
C.
D.

（11）定义方程
的实数根
叫做函数的“新驻点”,若函数
,

,

的“新驻点”分别为
,则
的大小关系为

A.
B.
C.
D.

（12）球
的球面上有四点
,其中
四点共面,
是边长为的正三角形,平面
平面
,则棱锥
的体积的最大值为

A. B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横钱上）

（13）命题“
，使得
”的否定形式是＿＿＿

（14）按如图所示的程序框图运算，

则输出
的值是＿＿＿

（15）设
为单位向量，
的夹角为
，则
的最大值为＿＿＿

（16）已知点
及直线
，点是抛物线
上一动点，则点到定点的距离与到直线
的距离和的最小值为＿＿＿

三、解答题（本大题共6题，共70分，解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）

（17）. （本小题满分12分）

如图,在海岸处发现北偏东
方向,距处
海里处有一艘走私船,在处北偏西
方向,距处海里的
处的我方缉私船奉命以
海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以
海里/小时的速度,从处向北偏东
方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.

(18). （本小题满分12分）

如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示)．

(1)求四棱锥P-ABCD的体积；

(2)证明：BD∥平面PEC；

(3)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.

(19). （本小题满分12分）

有A、B、C、D、E五位工人参加技能竞赛培训．现分别从A、B二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．

用茎叶图表示这两组数据如下：

（Ⅰ）　现要从A、B中选派一人参加技能竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，

你认为派哪位工人参加合适?请说明理由；

（Ⅱ）　若从参加培训的5位工人

中选2人参加技能竞赛，求A、B二人中

至少有一人参加技能竞赛的概率．

(20). （本小题满分12分）

已知椭圆的两个焦点
，过
且与坐标轴不平行的直线
与椭圆相交于M、N两点，如果
的周长等于8.（1）求椭圆的方程；（2）若过点（1，0）的直线
与椭圆交于不同两点P、Q，试问在轴上是否存在定点
，使
恒为定值？若存在，求出点E的坐标及定值；若不存在，请说明理由.

（21）（本小题满分12分）

设
.（1）当
时，求曲线
处的切线方程；（2）如果存在
，使得
成立，求满足上述条件的最大整数M；（3）如果对任意的
，都有
成立，求实数的取值范围.

请考生在第(22)、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

（22）．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，

直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的

中点，连结AD并延长交⊙O于点E，

若PA＝2
，∠APB＝30°．

（Ⅰ）求∠AEC的大小；

（Ⅱ）求AE的长．

（23）．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xoy中，动点A的坐标为（2－3sinα，3cosα－2），其中α∈R。

在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为

ρcos（θ－
）＝a.

（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；

（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值。

（24）．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲

设函数

（Ⅰ）不等式
的解集为
，求的值；

（Ⅱ）若
的定义域为R，求实数m的取值范围。

宁夏育才中学2012—2013高三模拟（一）

文科数学试题答案

1.C 2.C 3.B 4.D 5.B 6.C 7.D

8.C 9.D 10.D 11.B 12.D

13.
,14.
15.
16.

17.解:设缉私船应沿
方向行驶小时,

才能最快截获(在点)走私船,则
海里,

海里,在
中,由余弦定理,得

海里.

,
,

点在
点的正东方向上.

在
中,由正弦定理,得
,

,

，缉私船沿北偏东
的方向行驶。

又在
中，
，
，
，

，即
。
小时
分钟。

故缉船应沿北偏东
的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要
分钟。

18.解: (1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且

(3)连结BP，∵＝＝，∠EBA＝∠BAP＝90°，

∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA＝∠BEA，

∴∠PBA＋∠BAE＝∠BEA＋∠BAE＝90°，

∴PB⊥AE.

又∵BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE，

∴AE⊥平面PBG，∴AE⊥PG.

19.解：（Ⅰ）派B参加比较合适.理由如下：

＝
=85，

＝
=85，…2分

S2B＝
［（78-85）2+（79-85）2+（80-85）2+（83-85）2+（85-85）2+（90-85）2+（92-85）2+（95-85）2］=35.5

S2A＝
［（75-85）2+（80-85）2+（80-85）2+（83-85）2+（85-85）2+（90-85）2+（92-85）2+（95-85）2］=41……4分

∵
＝
，S2B＞S2A，∴B的成绩较稳定，派B参加比较合适. ……6分

（Ⅱ）任派两个（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10种情况；A、B两人都不参加（C，D），（C，E），（D，E）有3种．…10分

设“A,B二人中至少有一人参加技能竞赛的”事件为M,则P(M)=

故A,B二人至少有一人参加技能竞赛的概率为

24、解：（Ⅰ）由
≤得，
，………………2分

因为不等式
≤的解集为
，所以
解得a=1; …………5分

（Ⅱ）由
的定义域为知；

对任意实数x，有
恒成立. ………………7分

因为
，所以
,.………………10分