专题十三 复数

【上海市静安区2013届高三上学期期末文】（文）若复数
，则
是
成立的（ ）

(A) 充要条件 (B) 既不充分又不必要条件 (C) 充分不必要条件 (D) 必要不充分条件

【答案】D

【解析】若
，则
成立。若
，不妨取
，则有
成立，但
不成立，所以
是
成立的必要不充分条件，所以D.

【上海市青浦区2013届高三上学期期末文】已知复数
在复平面上对应点为
，则
关于直线
的对称点的复数表示是…… ……………（ ）．

.


　
.

.

【答案】B

【解析】如图，直线l即是线段OA的垂直平分线，P0的对称点即是(0,1)，

其对应的复数为i.选B.

【上海市杨浦区2013届高三上学期期末文】若复数
(
为虚数单位) ，则
.

【答案】

【解析】因为
，则
。

【上海市杨浦区2013届高三上学期期末文】若无穷等比数列
的前
项和为
，首项为
，公比为
，且
， (
)，则复数
在复平面上对应的点位于 ………（ ）

第一象限． 　
第二象限．　
第三象限．
第四象限．

【答案】D

【解析】因为
，且
，即
。所以解得
或
（舍去）。所以
。所以
，即对应坐标为
，所以点在第四象限，所以选D.

【上海市闸北区2013届高三上学期期末文】已知
，其中
是虚数单位，那么实数
．

【答案】

【解析】因为
，所以
，即
且
，解得
。

【上海市闵行区2013届高三上学期期末文】已知复数
满足
(
为虚数单位)，则
_________________.

【答案】

【解析】由
得
。

【上海市虹口区2013届高三上学期期末文】关于
的方程
（其中
为虚数单位），则方程的解
_______.

【答案】

【解析】由行列式得
，即
。

【上海市虹口区2013届高三上学期期末文】若
是关于
的实系数方程
的一根，则该方程两根模的和为（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】B

【解析】因为
是关于
的实系数方程
的一根，所以
也是方程的根，所以
，选B.

【上海市黄埔区2013届高三上学期期末文】若
(
为虚数单位)为纯虚数，则实数
的值为 　 ．

【答案】2

【解析】因为
为纯虚数，所以
，解得
。

【上海市黄埔区2013届高三上学期期末文】已知
且
C，则
（i为虚数单位）的最小值是 （ ）

A．
B．
　 C．
D．

【答案】D

【解析】因为
，所以
的轨迹为圆
。又
的几何意义为圆
上点
到点
距离的最小值。圆心
到点
的距离为
,所以
的最小值是
，选D.

【上海市嘉定区2013届高三上学期期末文】若
（
为虚数单位），则
___________．

【答案】

【解析】因为
，所以
，即
，所以
，即
，所以
。

【上海市金山区2013届高三上学期期末文】若复数(1+2i)(1+ai)是纯虚数，(i为虚数单位)，则实数a的值是 ．

【答案】

【解析】由(1+2i)(1+ai)得
，因为
是纯虚数，所以
，解得
。

【上海市长宁区2013届高三上学期期末文】 (文)已知z为复数，且
，则z=

【答案】

【解析】由条件知
，所以
。

【上海市崇明县2013届高三上学期期末文】设复数
（
为虚数单位），则
　　　　　　　　　.

【答案】

【解析】由
得
。

【上海市崇明县2013届高三上学期期末文】下面是关于复数
的四个命题：

　　①
；　②
；　③
的共轭复数为
；　④
的虚部为
．

其中正确的命题………………………… ………………………（　　）

A．②③ B．①② C．②④ D．③④

【答案】C

【解析】
，所以
。
的共轭复数为
，
的虚部为
，
，所以②④ 正确，选C.

【上海市奉贤区2013届高三上学期期末文】关于
的方程
的一个根是
，则
_________．

【答案】

【解析】因为方程的根为虚根
，所以
也是方程的根，所以
，即
。

【上海市宝山区2013届高三上学期期末文】在复数范围内，方程
的根是 ．

【答案】

【解析】因为
，所以方程的根为虚根，所以
。

【上海市宝山区2013届高三上学期期末文】已知复数
(
)的模为
,则
的最大值是 .

【答案】

【解析】由题意知
，即
，所以对应的圆心为
，半径为
。设
，则
。当直线与圆相切时，圆心到直线
的距离为
，解得
，所以由图象可知
的最大值是
。

【上海市静安区2013届高三上学期期末文】（文）设复数
（
为虚数单位），若对任意实数
，
，则实数
的取值范围为 .

【答案】

【解析】
(
(
，所以5a2+1-a(2cos(-4sin()≤4，

(
，此式对任意实数
成立，等价于
，

若a≥0，则
(
(
；

②若a<0，则

(
(
. 由①②知：
.

【上海市嘉定区2013届高三上学期期末文】（本题满分12分）

设复数
，其中
，
，
为虚数单位．若
是方程
的一个根，且
在复平面内对应的点在第一象限，求
与
的值．

【答案】方程
的根为
．………………（3分）

因为
在复平面内对应的点在第一象限，所以
，………………（5分）

所以
，解得
，因为
，所以
，……（8分）

所以
，所以
，故
．…………（11分）

所以
，
．…………（12分）

【上海市松江区2013届高三上学期期末文】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分

已知
，且满足
．

（1）求
；

（2）若
，
，求证：
．

【答案】（1）设
，则
，
………… 2分

由

得
……………………………4分

解得
或
……………………………… 5分

∴
或
……………………………… 7分

（2）当
时，

…………………… 10分

当
时，

……………………… 13分

∴

……………………………… 14分

【上海市浦东区2013届高三上学期期末文】（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知复数
.

（1）若
，求角
；

（2）复数
对应的向量分别是
,其中
为坐标原点，求
的取值范围.

【答案】（1）

=
……2分

…………………………4分

又
，
，
…………………6分

（2）

………………………10分

，

………14分