专题九 圆锥曲线（2）

【上海市黄埔区2013届高三上学期期末文】（本题满分16分）给定椭圆
：
，称圆心在原点O、半径是
的圆为椭圆C的

“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为
，其短轴的一个端点到点F的距离为
．

（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；

（2）过椭圆C的“准圆”与
轴正半轴的交点P作直线
，使得
与椭圆C都只有一个交点，求
的方程；

（3）若点
是椭圆
的“准圆”与
轴正半轴的交点，
是椭圆
上的两相异点，且
轴，求
的取值范围．

【答案】解：（1）由题意知
，且
，可得
，

故椭圆C的方程为
，其“准圆”方程为
． ………………4分

（2）由题意可得
点坐标为
，设直线
过
且与椭圆C只有一个交点，

则直线
的方程可设为
，将其代入椭圆方程可得 ………………6分

，即
，

由
，解得
， ………………8分

所以直线
的方程为
，
的方程为
，

或直线
的方程为
，
的方程为
．　　　　　　 ………………10分

（3）由题意，可设

，则有
，

又A点坐标为
，故
， ………………12分

故

, …………………………14分

又
，故
，

所以
的取值范围是
． …………………………16分

【上海市静安区2013届高三上学期期末文】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．

已知椭圆
的两个焦点为
、
，
是
与
的等差中项，其中
、
、
都是正数，过点
和
的直线与原点的距离为
．

（1）求椭圆的方程；

（2）（文）过点
作直线交椭圆于另一点
，求
长度的最大值；

（3）已知定点
，直线
与椭圆交于
、
相异两点．证明：对任意的
，都存在实数
，使得以线段
为直径的圆过
点．

【答案】解：（1）在椭圆中，由已知得
1分

过点
和
的直线方程为
，即
，该直线与原点的距离为
，由点到直线的距离公式得：
3分

解得：
；所以椭圆方程为
4分

（2）（文）设
，则
，
，其中
6分

当
时，
取得最大值
，所以
长度的最大值为
9分

（3）将
代入椭圆方程，得
，由直线与椭圆有两个交点，所以
，解得
11分

设
、
，则
，
，因为以
为直径的圆过
点，所以
，即
， 13分

而
=
，所以

，解得
14分

如果
对任意的
都成立，则存在
，使得以线段
为直径的圆过
点．

，即
．所以，对任意的
，都存在
，使得以线段
为直径的圆过
点． 16分

【上海市青浦区2013届高三上学期期末文】(本题满分16分)设直线
交椭圆
于
两点，交直线
于点
．

（1）若
为
的中点，求证：
；

（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；

（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．

【答案】（1）解法一：设

……… …2分

，

… ……4分

又


…… ………7分

解法二（点差法）：设

，

两式相减得

即
……………………… ………3分

………………………………………………………………………7分

（2）逆命题：设直线
交椭圆
于
两点，交直线
于点
．若
，则
为
的中点． ……9分

证法一：由方程组

…………………………………… ……………10分

因为直线
交椭圆
于
两点，

所以
，即
，设
、
、

则
，
……………………12分

又因为
，所以

，故E为CD的中点．……………………………14分

证法二：设

则
，

两式相减得

即
………………………………………………………9分

又
，
即
……………………………………………………12分

得

，即
为
的中点．……………………………14分

（3）设直线
交双曲线
于
两点，交直线
于点
．则
为
中点的充要条件是
．…………………16分

【上海市闸北区2013届高三上学期期末文】本题满分16分，第1小题满分7分，第2小题满分9分）

设点
，
分别是椭圆
的左、右焦点，
为椭圆
上任意一点．

（1）求数量积
的取值范围；

（2）设过点
且不与坐标轴垂直的直线交椭圆
于
、
两点，线段
的垂直平分线与
轴交于点
，求点
横坐标的取值范围．

【答案】

解：（1）由题意，可求得
，
． （1分）

设
，则有
，
（3分）

（2分）

所以，
． （1分）

（2）设直线
的方程为
， （1分）

代入
，整理得
，（*） （2分）

因为直线
过椭圆的左焦点
，所以方程*有两个不相等的实根．

设
，
，
中点为
，则

，
，
． （2分）

线段
的垂直平分线
的方程为
． （1分）

令
，则
．（2分）

因为
，所以
．即点
横坐标的取值范围为
． （1分）

【上海市闵行区2013届高三上学期期末文】已知椭圆
的方程为
，右焦点为
，直线
的倾斜角为
，直线
与圆
相切于点
，且
在
轴的右侧，设直线
交椭圆
于两个不同点
.

（1）求直线
的方程；

（2）求
的面积.

【答案】（1）设直线
的方程为
，

则有
，得
……………………………………3分

又切点
在
轴的右侧，所以
，……………………………2分

所以直线
的方程为
…………………………………2分

（2）设

由
得
…………………………2分

……………2分

又
，所以
到直线
的距离
……2分

所以
的面积为
……………1分

【上海市嘉定区2013届高三上学期期末文】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图，已知椭圆
的左、右顶点分别为
、
，右焦点为
．设过点
的直线
、
与椭圆分别交于点
、
，其中
，
，
．

（1）设动点
满足
，求点
的轨迹；



（2）若
，
，求点
的坐标．

【答案】（1）由已知，
，
，…………（1分）设
，……（2分）

由
，得
，…（5分）

化简得，
．所以动点
的轨迹是直线
．……（6分）

（2）将
和
代入
得，
，……（1分）

解得
，……（2分）

因为
，
，所以
，

．…………（3分）

所以
，
．…………（4分）

又因为
，
，

所以直线
的方程为
，直线
的方程为
．……（5分）

由
，…………（6分）

解得
．…………（7分）

所以点
的坐标为
．