专题二 函数与方程（2）

【上海市浦东区2013届高三上学期期末文】（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）

设函数

（1）求函数
和
的解析式；

（2）是否存在实数
，使得
恒成立，若存在，求出
的值，若不存在，请说明理由；

（3）定义
，且
，

① 当
时，求
的解析式；

已知下面正确的命题： 当
时
，都有
恒成立.

② 若方程
恰有15个不同的实数根，确定
的取值；并求这15个不同的实数根的和.

【答案】

（1）函数

函数
…………………………………4分

（2）
，

……6分

则当且仅当
时，即
.

综上可知当
时，有
恒成立.……………8分

（3）① 当
时，对于任意的正整数
，

都有
，故有
.……13分

② 由①可知当
时，有
，根据命题的结论可得，

当
时，
，

故有
，

因此同理归纳得到，当

时，

…………………15分

时， 解方程
得，

要使方程
在
上恰有15个不同的实数根，

则必须
解得

方程的根

………………………17分

这15个不同的实数根的和为：

.…………18分

【上海市虹口区2013届高三上学期期末文】（本题满分18分）如果函数
的定义域为
，对于定义域内的任意
，存在实数
使得
，则称此函数具有“
性质”.

（1）判断函数
是否具有“
性质”，若具有 “
性质”，求出所有
的值；若不具有“
性质”，请说明理由.

（2）已知
具有“
性质”，且当
时，
，求
在
上的最大值.

（3）设函数
具有“
性质”.且当
时，
，若
与
交点个数为2013个，求实数
的值.

【答案】解：（1）由
得
，根据诱导公式得

．

具有“
性质”，其中

．

………………4分

（2）

具有“
性质”，

．

设
，则
，

……………………6分

当
时，

在
递增，

时

当
时，

在
上递减，在
上递增，且
，

时

当
时，

在
上递减，在
上递增，且
，

时

综上所述：当
时，
；当
时，

………………………………11分

（3）

具有“
性质”，

，
，

，从而得到
是以2为周期的函数．

又设
，则
，

．

再设
（
），

当
（
），
则
，

；

当
（
），
则
，
；

对于，
（
），都有
，而
，
，

是周期为1的函数．

①当
时，要使得
与
有2013个交点，只要
与
在
有2012个交点，而在
有一个交点．

过
，从而得

②当
时，同理可得

③当
时，不合题意．

综上所述
…………………………18分

【上海市徐汇区2013届高三上学期期末文】（文）某种型号汽车的四个轮胎半径相同，均为
，该车的底盘与轮胎中心在同一水平面上. 该车的涉水安全要求是：水面不能超过它的底盘高度. 如图所示：某处有一“坑形”地面，其中坑
形成顶角为
的等腰三角形，且
，如果地面上有
(
)高的积水(此时坑内全是水，其它因素忽略不计).

当轮胎与
、
同时接触时，求证：此轮胎露在水面外的高度(从轮胎最上部到水面的距离)为
；

(2) 假定该汽车能顺利通过这个坑(指汽车在过此坑时，符合涉水安全要求)，求
的最大值.

(精确到1cm).

【答案】解：(1) 当轮胎与AB、BC同时接触时，设轮胎与AB边的切点为T，轮胎中心为O，则|OT|=40，由∠ABC=1200，知∠OBT=600， …………………..2分

故|OB|=
. .………… ………………………..4分

所以，从B点到轮胎最上部的距离为
+40 ………..6分

此轮胎露在水面外的高度为d=
+40-(
+h)=
，得证. …..8分

(2)只要d
40， …………… …………………………..12分

即

40，解得h
16cm.，所以h的最大值为16cm. … 14分

【上海市普陀区2013届高三上学期期末文】（本题满分16分）
和
都是定义在集合
上的函数,对于任意的

，都有
成立，称函数
与
在
上互为“
函数”.

（1）若函数
，
，
与
互为“
函数”,

证明：
.

（2）若集合
，函数
，
，判断函数
与
在
上是否互为“
函数”，并说明理由.

（3）函数
(
，
在集合
上互为“
函数”,求
的取值范围及集合
.

【答案】（1）证明：函数
与
互为“
函数“,则对于
,
恒成立.即
在
上恒成立………………2分

化简得
………………2分

所以当
时，
，即
…1分

（2）假设函数
与
互为“
函数”，则对于任意的

恒成立.即
，对于任意
恒成立…2分.

当
时，
.

不妨取
，则
，所以
………………2分

所以假设不成立，在集合
上，函数
与
不是互为“
函数”………1分.

（3）由题意得，
（
且
）………2分

变形得，
，由于
且

，因为
，所以
，即
………2分

此时
，集合
………2分

【上海市松江区2013届高三上学期期末文】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度
（单位：千克/年）是养殖密度
（单位：尾/立方米）的函数．当
不超过4（尾/立方米）时，
的值为
（千克/年）；当
时，
是
的一次函数；当
达到
（尾/立方米）时，因缺氧等原因，
的值为
（千克/年）．

（1）当
时，求函数
的表达式；

（2）当养殖密度
为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）
可以达到最大，并求出最大值．

【答案】（1）由题意：当
时，
； …………………………2分

当
时，设
，显然
在
是减函数，

由已知得
，解得
…………………………4分

故函数

=
…………………………6分

（2）依题意并由（1）可得

……8分

当
时，
为增函数，故

； ……………10分

当
时，
，

． ……………………………12分

所以，当
时，
的最大值为
．

当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为
千克/立方米．

……………………………14分

【上海市浦东区2013届高三上学期期末文】（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形
的空地上修建一个占地面积为
的矩形
健身场地，如图点M在
上，点N在
上，且P点在斜边
上，已知
且
米，
，
.

（1）试用
表示
，并求
的取值范围；

（2）设矩形
健身场地每平方米的造价为
，再把矩形
以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为
（
为正常数），求总造价
关于
的函数
；试问如何选取
的长使总造价
最低（不要求求出最低造价）.

【答案】（1）在
中，显然
，
，

，………………2分

矩形
的面积
，
…4分

于是
为所求.…………………6分

（2） 矩形
健身场地造价

………………………………………7分

又
的面积为
，即草坪造价

，……………8分

由总造价
，

，
.…10分

，……………………………………………………11分

当且仅当
即
时等号成立，……………………………12分

此时
，解得
或
，

所以选取
的长为12米或18米时总造价
最低.………………………14分

【上海市静安区2013届高三上学期期末文】（文）

某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是正方形，其中AB=2米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．

（1）设MN与AB之间的距离为
米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；

（2）求△EMN的面积S（平方米）的最大值．



【答案】解：（1）

①如图1所示，当MN在正方形区域滑动，

即0＜x≤2时，

△EMN的面积S=
=
； 2分

②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，

即2＜x＜
时，

如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，

∵ E为AB中点，

∴ F为CD中点，GF⊥CD，且FG＝
.

又∵ MN∥CD，

∴ △MNG∽△DCG．

∴
，即
． 5分

故△EMN的面积S＝

＝
； 7分

综合可得：

8分

说明：讨论的分段点x=2写在下半段也可．

（2）①当MN在正方形区域滑动时，
，所以有
； 10分

②当MN在三角形区域滑动时，S=
.

因而，当
（米），S在
上递减，无最大值，
．