专题六 立体几何

【上海市浦东区2013届高三上学期期末文】若一个圆锥的轴截面是边长为
的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为
.

【答案】

【解析】因为圆锥的轴截面是边长为
的等边三角形，所以母线
，底面半径
。所以底面周长
，所以侧面积为
。

【上海市浦东区2013届高三上学期期末文】如图所示，已知一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 .

【答案】

【解析】由三视图可知该几何下面是圆柱，上面是四棱锥。圆柱的底面半径为1，高为2.所以圆柱的体积为
。四棱锥的高为
，四棱锥底面边长为
，所以四棱锥的体积为
，所以该几何体的体积为
。

【上海市普陀区2013届高三上学期期末文】【文科】正方体
中，异面直线
与
所成的

角的大小为 .

【答案】

【解析】连结
，
,则
，所以
为直线
与平面
所成的角，所以设正方体的边长为1，则
，所以
，所以

。

【上海市普陀区2013届高三上学期期末文】 三棱锥
中，
、
、
、
分别为
、
、
、
的中点，则截面
将三棱锥
分成两部分的体积之比为 .

【答案】

【解析】因为
、
、
、
分别为
、
、
、
的中点，所以四边形
为平行四边形，
平行平面
且
平行平面
，且
和
到平面
的距离相同。每一部分都可以可作是一个三棱锥和一个四棱锥两部分的体积和。如图1中连接DE、DF，VADEFGH=VD﹣EFGH+VD﹣EFA：图2中，连接BF、BG，

VBCEFGH=VB﹣EFGH+VG﹣CBFE，F，G分别是棱AB，AC，CD的中点，所以VD﹣EFGH=VB﹣EFGHVD﹣EFA的底面面积是VG﹣CBF的一半，高是它的2倍，所以二者体积相等．

所以VADEFGH：VBCEFGH=1：1

【上海市青浦区2013届高三上学期期末文】已知正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积
．

【答案】

【解析】正三棱柱的底面面积为
，所以体积为
。

【上海市青浦区2013届高三上学期期末文】若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是 ．

【答案】

【解析】设圆柱的底面半径为
，母线为
，则
，所以
。

【上海市杨浦区2013届高三上学期期末文】若圆椎的母线
,母线与旋转轴的夹角
,则该圆椎的侧面积为
.

【答案】

【解析】因为线与旋转轴的夹角
，设底面圆的半径为
，则
。所以底面圆的周长
，所以该圆锥的侧面积
。

【上海市虹口区2013届高三上学期期末文】已知
是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）

A.如果
，则
B.如果
，则
共面

C.如果
，则
D.如果
共点，则
共面

【答案】A

【解析】根据线面垂直和平行的性质可知，A正确，所以选A.

【上海市嘉定区2013届高三上学期期末文】一个圆锥的侧面展开图是一个半径为
的半圆，则这个圆锥的底面积是________．

【答案】

【解析】因为圆锥的侧面展开图是一个半径为
的半圆，所以圆锥的，母线
,设圆锥底面圆的半径为
，则
,即
,所以圆锥的底面积是
.

【上海市闵行区2013届高三上学期期末文】已知
是空间四点，命题甲：
四点不共面，命题乙：直线
和
不相交，则甲是乙成立的 [答]( )

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若
四点不共面，则直线
和
不共面，所以
和
不相交。若直线
和
不相交，
和
平行时，
四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件，选A.

【上海市长宁区2013届高三上学期期末文】（文）已知长方体的三条棱长分别为
，
，
，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为____________．

【答案】

【解析】因为长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则长方体的体对角线为球的直径，
，所以球半径
，所以球的表面积为
。

【上海市长宁区2013届高三上学期期末文】已知m，n是两条不同直线，
是两个不同平面，下列命题中的假命题的是（ ）

A.
B.

C.
D.

【答案】C

【解析】C中，当
时，直线
，当
时，直线
不一定成立，所以C为假命题，选C.

【上海市崇明县2013届高三上学期期末文】若圆锥的侧面展开图是半径为1cm、圆心角为
的半圆，则这个圆锥的轴截面面积等于　　　　　　　　　.

【答案】

【解析】因为半圆的周长为
，所以圆锥的母线为1。设圆锥的底面半径为
，则
，所以
。圆锥的高为
，所以圆锥的轴截面面积为
。

【上海市宝山区2013届高三上学期期末文】已知半径为R的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于
，且经过这三个点的小圆周长为
，则R= ．

【答案】

【解析】设三点分别为A、B、C，球心为O，由题意知∠AOB=∠AOC=∠BOC=
，所以AB=BC=CA=R，所以小圆半径为
，小圆周长为
，解得R=
.

【上海市宝山区2013届高三上学期期末文】 (本题满分12分)

如图，直三棱柱
的体积为8，且
，∠
，E是
的中点，
是
的中点.求异面直线
与
所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

【答案】解：由
得
，………………………3分

取BC的中点F，联结AF，EF，则
，

所以
即是异面直线
与
所成的角，记为
． ………………………5分

，
，
，………………………8分

，………………………11分

因而
………………………………………………12分

【上海市青浦区2013届高三上学期期末文】(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

如图已知四棱锥
中的底面是边长为6的正方形，侧棱
的长为8，且垂直于底面，点
分别是
的中点．求

（1）异面直线
与
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）四棱锥
的表面积.

【答案】

（1）解法 一：连结
，可证
∥
，

直线
与
所成角等于直线
与
所成角． …………………………2分

因为
垂直于底面,所以
,

点
分别是
的中点,

在
中,
,
,

,
…………………………4分

即异面直线
与
所成角的大小为
．…………………………6分

解法二：以
为坐标原点建立空间直角坐标系可得
，
，
，
，
，
…………………………2分

直线
与
所成角为
，向量
的夹角为

…………………………4分

又
，
，

即异面直线
与
所成角的大小为
．…………………………6分

（说明：两种方法难度相当）

(2) 因为
垂直于底面,所以
，
即
≌

，同理

≌
…………8分

底面四边形
是边长为6的正方形，所以

又

所以四棱锥
的表面积是144 …………………………………………12分

【上海市长宁区2013届高三上学期期末文】（本题满分12分）如图，△
中，
，
，
，在三角形内挖去一个半圆（圆心
在边
上，半圆与
、
分别相切于点
、
，与
交于点
），将△
绕直线
旋转一周得到一个旋转体。

（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；

（2）求图中阴影部分绕直线
旋转一周所得旋转体的体积．



【答案】解（1）连接
，则

， …………3分

设
，则

，又
，所以
，…………6分

所以，

…………8分

（2）
…………12分

【上海市嘉定区2013届高三上学期期末文】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图，在三棱锥
中，
底面
，
，
．

（1）求三棱锥
的体积
；

（2）求异面直线
与
所成角的大小．



【答案】（1）因为
底面
，所以三棱锥
的高
，…………（3分）

所以，
．…………（6分）

（2）取
中点
，
中点
，
中点
，

连结
，
，
，则
∥
，
∥
，

所以
就是异面直线
与
所成的角（或其补角）．…………（2分）

连结
，则
，……（3分）

， …………（4分）

又
，所以
．…………（5分）

在△
中，
，……（7分）

故
．所以异面直线
与
所成角的大小为
．…………（8分）

【上海市崇明县2013届高三上学期期末文】

（文科）如图，四面体
中，
、
分别是
、
的中点，
平面
，

．

（1）求三棱锥
的体积；

（2）求异面直线
与
所成角的大小．



【答案】

（1）因为CO=
，AO=1 所以
。

（2）因为O、E为中点，所以OE//CD，所以
的大小即为异面直线

AE与CD所成角。

在直角三角形AEO中，
，所以异面直线AE与CD所成角的大小为

【上海市普陀区2013届高三上学期期末文】 如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成. 已知球的直径是

，圆柱筒长

.

（1）这种“浮球”的体积是多少
（结果精确到0.1）？

（2）