专题二 函数与方程（1）

【上海市浦东区2013届高三上学期期末文】函数
的定义域为 .

【答案】

【解析】要使函数有意义，则有
，即
，所以
，即函数
的定义域为
。

【上海市浦东区2013届高三上学期期末文】函数
（
）的反函数是 .

【答案】
，

【解析】由
得
，所以
。当
时，
，即
，（
）。

【上海市浦东区2013届高三上学期期末文】已知函数
，若函数
为奇函数，则实数
为（ ）

A.?
?????????? ?? B.??
???????? ? C.?
????????? D.

【答案】B

【解析】因为函数
为奇函数，所以
，即
，所以选B.

【上海市闵行区2013届高三上学期期末文】函数
的定义域为 .

【答案】

【解析】要使函数有意义，则有
，即
，所以
。即函数的定义域为
。

【上海市闵行区2013届高三上学期期末文】已知函数
的图像与函数
的图像关于直线
对称，则
的值为 .

【答案】

【解析】因为
的图像与函数
的图像关于直线
对称，则
与
互为反函数。所以由
得
，解得
，所以
。

【上海市闵行区2013届高三上学期期末文】（文）已知函数
，则关于
的方程
的实根的个数是___ _．

【答案】5

【解析】由
得
或
。当
时，
，此时
，由
，得
。当
时，若
，得
，即
，此时
。若
，得
，即
，此时
。所以关于
的方程
的实根的个数共有5个。

【上海市金山区2013届高三上学期期末文】若函数y=f(x) (x∈R)满足：f(x+2)=f(x)，且x∈[–1, 1]时，f(x) = | x |，函数y=g(x)是定义在R上的奇函数，且x∈(0, +∞)时，g(x) = log 3 x，则函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像的交点个数为_______．

【答案】4

【解析】f(x+2)=f(x)( f(x)的周期为2，由条件在同一坐标系中画出f (x)与g(x)的图像如右，由图可知有4个交点.

【上海市闵行区2013届高三上学期期末文】(文)已知函数
，若存在
，且
，使
成立，则以下对实数
、
的描述正确的是 [答]（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】A

【解析】由函数
的图象可知当
时，函数单调递增，当
时，函数递减。若
,则函数在
上单调递增，所以条件不成立。所以必有
，所以选A.

【上海市静安区2013届高三上学期期末文】（文）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x年，绿化面积与原绿化面积之比为y，则y=f(x)的图像大致为

【答案】D

【解析】由题意可知绿化面积为
，则函数
，所以函数的图象为D，所以选D.

【上海市虹口区2013届高三上学期期末文】定义在
上的函数
是最小正周期为
的偶函数，当
时，
，且在
上单调递减，在
上单调递增，则函数
在
上的零点的个数为_______.

【答案】20

【解析】
得
，f(x)-sinx=0(f(x)=sinx=g(x)，只要考虑y=f(x)与y=g(x)的交点个数.

由题设，f(x)的值域为(0,1)，故当g(x)=sinx>0

时两者才有交点.令sinx>0(2k(

又x([-10(,10(]，∴k=-5,-4,…,4,即有10个正值区间，而第个正值区间上有2个交点，故共有20个零点.

【上海市虹口区2013届高三上学期期末文】定义域为
的函数
有四个单调区间，则实数
满足（ ）

A.
且
B.
C.
D.

【答案】C

【解析】此函数为偶函数，当
时，
，如图，

只要顶点在y轴的右面，f(x)就有四个单调区间，所以
，选C.

【上海市黄埔区2013届高三上学期期末文】已知

，且函数
有且仅有两个零点，则实数
的取值范围是 ．

【答案】

【解析】由
得
，设
。做出函数

的图象，
当
时，直线
与
有两个交点，所以要使
有且仅有两个零点，则有
，即实数
的取值范围是
。

【上海市黄埔区2013届高三上学期期末文】已知函数
(
且
)满足
，若
是
的反函数，则关于x的不等式
的解集是 　　 ．

【答案】

【解析】因为
，所以
，解得
。因为
是
的反函数，所以
，
。所以由
得
，即
，解得
，即不等式
的解集是
。

【上海市黄埔区2013届高三上学期期末文】若
是R上的奇函数，且
在
上单调递增，则下列结论：①
是

偶函数；②对任意的
都有
；③
在
上单调递增；

④
在
上单调递增．其中正确结论的个数为　　　 　 　（　 ）

A．1　 　　　　 　 B．2　　　　　　　 C．3　　　　　 　 D．4

【答案】B

【解析】取f(x)=x3，x=-1，则f(-x)+|f(x)|=f(1)+|f(-1)|=2≠0，故②错，又f(-x)=-x3在(-(,0]上单调减，故③错. 对于①，设x(R，则|f(-x)|=|-f(x)|=| f(x)|( y=|f(x)|是偶函数，所以①对；对于④，设x1-x2≥0，∵f(x)在[0,+()上单调递增，∴f(-x1)> f(-x2)≥f(0)=0( f 2(-x1)> f 2 (-x2)( f 2(x1)> f 2 (x2)，∴f(x1) f(-x1)=- f 2(x1)<- f 2(x2)= f(x2) f(-x2)( y=f(x)f(-x)在(-(,0]上单调递增，故④对.所以选B.

【上海市嘉定区2013届高三上学期期末文】设
、
，且
，若定义在区间
内的函数
是奇函数，则
的取值范围是________________．

【答案】

【解析】因为函数
是奇函数，所以
，即
，所以
，即
，所以
，所以
，
，即
，由
得
，所以
，所以
，所以
，即
，所以
的取值范围是
。

【上海市嘉定区2013届高三上学期期末文】设函数
是偶函数，当
时，
，则
}等于…（ ）

A．
或
B．
或

C．
或
D．
或

【答案】D

【解析】，当
时，由
得
，所以函数
的解集为
，所以将函数
向右平移2个单位，得到函数
的图象，所以不等式
的解集为
或
,选D.

【上海市金山区2013届高三上学期期末文】函数f(x)=3x–2的反函数f –1(x)=________．

【答案】

【解析】由f(x)=3x–2得
，即
。

【上海市浦东区2013届高三上学期期末文】定义域为
的函数
图象的两个端点为
，向量
，
是
图象上任意一点，其中
. 若不等式
恒成立，则称函数
在
上满足“
范围线性近似”，其中最小的正实数
称为该函数的线性近似阀值．

下列定义在
上函数中，线性近似阀值最小的是 （ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】D

【解析】
(N在线段AB上，且
，又
，∴xM=xN，∴|MN|=|yM-xN |.

不等式|MN|≤k恒成立(|MN|max≤k，∴最小的正实数k即是|MN|max.

对于(A)，A(1,1)，B(2,4)，∴AB方程为y=3x-2，如图1，

|MN|= yN- yM =3x-2- x2=-(x-
)2+
，当x=
时，|MN|max=
；

对于(B)，A(1,2)，B(2,1)，∴AB方程为y=-x+3，如图2，

|MN|= yN- yM =-x+3-
=3-(x+
)≤3-
，当x=
，

即x=
时，上式成立等号，∴|MN|max=3-
；

对于(C)，A(1,
)，B(2,
)，∴AB方程为y=
，如图3，

|MN|=yM-xN = sin
-
，当x=
时，|MN|max=1-
；

对于(D)，A(1,0)，B(2,
)，∴AB方程为y=
x-
，如图4，

|MN|=yM-xN =
，

∵
是|MN|的四个最大值中的最小的一个，∴线性近似阀值最小的是D.

【上海市普陀区2013届高三上学期期末文】若函数
，则
.

【答案】

【解析】因为
，由
得，
，即
，所以
。

【上海市普陀区2013届高三上学期期末文】 已知函数
，设
，若
，则
的取值范围是 .

【答案】

【解析】当
时，
。当
时，由
得
。所以
。而
，所以
，即
，所以