专题三 数列（2）

【上海市静安区2013届高三上学期期末文】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知数列
的递推公式为

（1）令
，求证：数列
为等比数列；

（2）求数列
的前 n项和.

【答案】（1）
，

又
，所以
（
），

所以，数列
是以1为首项3为公比的等比数列． 6分

（2）
，
8分

所以数列
的前 n项和
=
．

【上海市青浦区2013届高三上学期期末文】(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

已知数列
满足
．

（1）设
证明：数列
为等差数列，并求数列
的通项公式；

（2）求数列
的前
项和
．

【答案】（1）

，……2分

为等差数列．又
，
．……………………………………………4分

．………………………………………………………………………6分

（2）设
，则

3
．

．…………………10分

．

． …………………………14分

【上海市闸北区2013届高三上学期期末文】（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

若数列
满足：对于
，都有
（常数），则称数列
是公差为
的准等差数列．如：若
则
是公差为
的准等差数列．

（1）求上述准等差数列
的第
项
、第
项
以及前
项的和
；

（2）设数列
满足：
，对于
，都有
．求证：
为准等差数列，并求其通项公式；

（3）设（2）中的数列
的前
项和为
，若
，求
的取值范围．

【答案】

解：（1）
，
（2分）

（4分）

（2）
①

②

②-①得
．

所以，
为公差为2的准等差数列． （2分）

当
为奇数时，
； （2分）

当
为偶数时，
， （2分）

（3）解一：在
中，有32各奇数项，31各偶数项，

所以，
（4分）

，

． （2分）

解二：当
为偶数时，
，
，… …

将上面各式相加，得
．

（4分）

，

． （2分）

【上海市闵行区2013届高三上学期期末文】设数列
的各项均为正数，前
项和为
，已知

(1)证明数列
是等差数列，并求其通项公式；

(2)是否存在
，使得
，若存在，求出
的值；若不存在请说明理由；

(3)证明：对任意
，都有
．

【答案】（文）(1)∵
，∴当
时，
．两式相减得
，∴
…………………………2分∵
，∴
，又
，∴
∴
是以
为首项，
为公差的等差数列．……………………2分∴
…………………………1分(2) 由(1)知
， …………………………2分

假设正整数
满足条件， 则
∴
， 解得
； …………………………3分(3)
…………………………2分于是

…………………………2分
…………………………3分∴
…………………………1分

【上海市长宁区2013届高三上学期期末文】（本题满分18分）（文）设
，等差数列
中
，
，记
=
，令
，数列
的前n项和为
.

（1）求
的通项公式和
；

（2）求证：
；

（3）是否存在正整数
，且
，使得
成等比数列？若存在，求出
的值，若不存在，说明理由.

【答案】解：（1）设数列
的公差为
，由
,

.解得
，
=3 ， ……………2分

∴
……………4分

∵
， ∴Sn=
=
. ……………6分

（2）

∴
……………8分

∴
……………10分

（3）由(2)知，
∴
，
，∵
成等比数列.

∴
……………12分

即

当
时，7
，
=1，不合题意；当
时，

，
=16，符合题意；

当
时，

，
无正整数解；当
时，

，
无正整数解；

当
时，

，
无正整数解；当
时，

，
无正整数解；

……………15分

当
时，
，则
，而
，

所以，此时不存在正整数m,n,且1

综上，存在正整数m=2,n=16,且1

另解：

（3）由(2)知，
∴
，

∵
成等比数列. ∴
， ……………12分

取倒数再化简得

当
时，

，
=16，符合题意； ……………14分

，

而
，

所以，此时不存在正整数m、n , 且1

综上，存在正整数m=2,n=16,且1

【上海市嘉定区2013届高三上学期期末文】（本题满分16分）设等差数列
的前
项和为
，且
，
．数列
的前
项和为
，满足
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）写出一个正整数
，使得
是数列
的项；

（3）设数列
的通项公式为
，问：是否存在正整数
和
（
），使得
，
，
成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对
；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）设数列
的首项为
，公差为
，由已知，有
，……（2分）

解得
，
，…………（3分）

所以
的通项公式为
（
）．…………（4分）

（2）当
时，
，所以
．……（1分）

由
，得
，两式相减，得
，

故
，……（2分）

所以，
是首项为
，公比为
的等比数列，所以
．……（3分）

，…………（4分）

要使
是
中的项，只要
即可，可取
．…………（6分）

（只要写出一个
的值就给分，写出
，
，
也给分）

（3）由（1）知，
，…………（1分）

要使
，
，
成等差数列，必须
，即

，…………（2分）

化简得
．…………（3分）

因为
与
都是正整数，所以
只能取
，
，
．…………（4分）

当
时，
；当
时，
；当
时，
．…………（5分）

综上可知，存在符合条件的正整数
和
，所有符合条件的有序整数对
为：

，
，
．…………（6分）

【上海市奉贤区2013届高三上学期期末文】（文）等比数列
满足
，
，数列
满足

（1）求
的通项公式；（5分）

（2）数列
满足
，
为数列
的前
项和．求
；（5分）

（3）是否存在正整数
，使得
成等比数列？若存在，求出所有
的值；若不存在，请说明理由．（6分）

【答案】解：（1）解：
，所以公比
2分

计算出
3分

4分

5分

（2）
6分

于是
8分

=
10分

（3）假设否存在正整数
，使得
成等比数列，则

， 12分

可得
，

由分子为正，解得
，

由
，得
，此时
，

当且仅当
，
时，
成等比数列。 16分

【上海市崇明县2013届高三上学期期末文】（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分）

已知数列
，记
,
,

,
，并且对于任意
，恒有
成立．

（1）若
，且对任意
，三个数
组成等差数列，求数列
的

通项公式；

（2）证明：数列
是公比为
的等比数列的充分必要条件是：对任意
，三个数

组成公比为
的等比数列．

【答案】解：（1）

，所以
为等差数列。

（2）（必要性）若数列
是公比为q的等比数列，则
，
，所以A(n)、B(n)、C(n)组成公比为q的等比数列。

（充分性）：若对于任意
，三个数
组成公比为
的等比数列，

则