专题七 不等式

【上海市静安区2013届高三上学期期末文】（文）函数
的值域为

(A)
(B)
　　　　　(C)
　 (D)

【答案】A

【解析】
，因为
，则函数为
，在
递减，在
递增，所以当
时有最小值
。当
时，
；当
时，
，所以
，即函数的值域为
，选A.

【上海市浦东区2013届高三上学期期末文】已知
，且
，则
的最大值为 .

【答案】

【解析】因为
，所以
，当且仅当
，即
时取等号，所以
的最大值为
。

【上海市浦东区2013届高三上学期期末文】已知实数
满足约束条件
，则
的最小值等于 .

【答案】

【解析】由
得
，作出不等式组对应的可行域为BCD,平移直线
，由图象可知当直线
经过点B时，直线的截距最小，此时
最小，由
，得
，即
,代入
得
。

【上海市普陀区2013届高三上学期期末文】不等式
的解为 .

【答案】

【解析】由
得
，即
，所以不等式的解集为
。

【上海市松江区2013届高三上学期期末文】已知
，则
的最小值为 ▲ ．

【答案】2

【解析】由
得
且
，即
。所以
，所以
的最小值为2.

【上海市徐汇区2013届高三上学期期末文】（文）不等式
的解为 .

【答案】

【解析】由行列式的定义可知不等式为
，整理得
，解得
，或
（舍去），所以
。

【上海市闸北区2013届高三上学期期末文】（文）若实常数
，则不等式
的解集为 ．

【答案】

【解析】因为
，
得
，解得
，即不等式的解集为
。

【上海市静安区2013届高三上学期期末文】（文）设
，
满足条件
则点
构成的平面区域面积等于 .

【答案】2

【解析】作出不等式对应的平面区域阴影部分，
，由图象可知四边形
为正方形，且
，所以正方形的面积为
。

【上海市静安区2013届高三上学期期末文】（文）设
满足约束条件
使目标函数
的值最大的点
坐标是 .

【答案】

【解析】作出不等式对应的平面区域阴影部分
，由
得
，作直线
，平移直线
，由图象可知当直线
经过点B时，直线
的截距最大，此时
最大。由
解得
，即
,所以使目标函数
的值最大的点
坐标是
。

【上海市静安区2013届高三上学期期末文】（文）已知
，关于
的不等式
的解集是 .

【答案】

【解析】原不等式等价为
，即
，因为
，所以不等式等价为
，所以
，即原不等式的解集为
。

【上海市闵行区2013届高三上学期期末文】（文）已知不等式
对任意
恒成立，则实数
的取值范围是 ．

【答案】
或

【解析】当
时，
，此时不等式
成立，所以只考虑
时，若
，则不等式
等价为
，此时
。若
，则不等式
等价为
，即
，因为
，所以
，所以
。所以实数
的取值范围是
或
。

【上海市虹口区2013届高三上学期期末文】若对于任意的
不等式
恒成立，则实数
的取值范围为_______.

【答案】

【解析】
，所以要使
恒成立，则
，即实数
的取值范围为
。

【上海市虹口区2013届高三上学期期末文】已知正实数
满足
，则
的最小值等于_______.

【答案】9

【解析】由
得
，由
得
。所以

，当且仅当
，即
，
时取等号，所以
的最小值等于9.

【上海市金山区2013届高三上学期期末文】若
，则下列结论不正确的是 （ ）

(A)
(B)

(C)
(D)

【答案】D

【解析】由
可知，
，所以
，选D.

【上海市奉贤区2013届高三上学期期末文】已知
且
若
恒成立，则实数m的取值范围是_________．

【答案】

【解析】
，当且仅当
，即
时，取等号，所以
的最小值为4，所以要使
恒成立，所以
。

【上海市宝山区2013届高三上学期期末文】不等式
的解集是 _________________.

【答案】

【解析】由
得
，即
，所以解得
，所以不等式的解集为
。

【上海市黄埔区2013届高三上学期期末文】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．

如图所示，
是一个矩形花坛，其中AB= 6米，AD = 4米．现将矩形花坛
扩建成一个更大的矩形花园
，要求：B在
上，D在
上，对角线
过C点， 且矩形
的面积小于150平方米．

（1）设
长为
米，矩形
的面积为
平方米，试用解析式将
表示成
的函数，并写出该函数的定义域；

（2）当
的长度是多少时，矩形
的面积最小?并求最小面积．

【答案】解：（1）由△NDC∽△NAM，可得
，

∴
，即
，……………………3分

故
， ………………………5分

由
且
，可得
，解得
，

故所求函数的解析式为
，定义域为
． …………………………………8分

（2）令
，则由
，可得
，

故
…………………………10分

， …………………………12分

当且仅当
，即
时
．又
，故当
时，
取最小值96．

故当
的长为
时，矩形
的面积最小，最小面积为
（平方米）…………14分

【上海市金山区2013届高三上学期期末文】（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

已知函数
，其中常数a > 0．

(1) 当a = 4时，证明函数f(x)在
上是减函数；

(2) 求函数f(x)的最小值．

【答案】(1) 当
时，
，…………………………………………1分

任取0

因为00，即f(x1)>f(x2)………………………………………5分

所以函数f(x)在
上是减函数；………………………………………………………6分

(2)

，……………………………………………………7分

当且仅当
时等号成立，…………………………………………………………8分

当
，即
时，
的最小值为
，………………………10分

当
，即
时，
在
上单调递减，…………………………………11分

所以当
时，
取得最小值为
，………………………………………………13分

综上所述：
………………………………………14分

【上海市长宁区2013届高三上学期期末文】（本题满分14分）

（文）某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，又该厂职工工资固定支出12500元。

（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；

（2）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：
，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额-总的成本）

【答案】解：（1）
………………………………………3分

由基本不等式得

当且仅当
，即
时，等号成立 ……………………6分

∴
，成本的最小值为
元． ……………………7分

（2）设总利润为
元，则

……………10分

当
时,
……………………………………………………13分

答：生产
件产品时，总利润最高，最高总利润为
元．… ……14分