南安第一中学2014-2015学年高二上学期期末考试

理科数学试题

第I卷（选择题 共60分）

一.选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确，请把答案填在答题卡上）：

1.
为虚数单位，若
，则
的值为
（ ）

A．
B．
C．

D．

2.以下说法，正确的个数为 （ ）

①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理．

②农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的．

③由平面几何
中圆的一些性质，推测出球的某些性质这是运用的类比推理．

④个位是5的整数是5的倍数，2375的个位是5，因此2375是5的倍数，这是运用的演绎推理．

A．0 B．2 C．3 D．4

3.函数
的定义域为开区间
，导函数
在
内的图象如下图所示，则函数
在开区间
内有极大值点 （ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据，据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为
＝0.7x＋0.35，那么表中
值为

x

3

4

5

6



y

2.5



4

4.5



（ ）

A．
B．
C．
D．

5.若函数
的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△x，1+△y），则
等于（ ）

A．4 B．4x C．4+2△x D．4+2△x2

6.下面说法：①如果一组数据的众数是5，那么这组数据中出现次数最多的数是5；

②如果一组数
据的平均数是0，那么这组数据的中位数为0；

③如果一组数据1，2，x，4的中位数是3，那么x=4；

④如果一组数据的平均数是正数，那么这组数据都是正数．

其中错误的个数是
（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7.函数
的图象在点
处的切线方程为 （ ）

A．
B．
C．
D．

8.如图，由函数
的图象，直线
及x轴所围成的阴影部分面积等于 （ ）

A．
B．

C．
D．

9.函数
在（0,1）内有极小值，则实数a的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

10.某初级中学有学生300人，其中一年级120人，二，三年级各90人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一，二，三年级依次统一编号为1，2，…300；使用系统抽样时，将学生统一编号为1，2，…300，并将整个编号依次分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：

①7，37，67，97，127，157，187，217，247，277； ②5，9，100，107，121，180，195，221，265，299；

③11，41，71，101，131，161，
191，221，251，281； ④31，61，91，121，151，181，211，241，271，300

关于上述样本的下列结论中，正确的是
（ ）

A．①④都可能为系统抽样 B．①③都可能为分层抽样

C．②③都不能为系统抽样 D．②④都不能为分层抽样

11.已知
，
是双曲线
的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点
与点
关于直线

对称，则该双曲线的离心率为
（ ）

A．
B．
C．
D．

12.已知函数
，
，若任意给定的
总存在两个不同的
，使得
成立，则实数
的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

第II卷（非选择题，共90分）

二.填空题（共4小题，每小题4分，请把答案写在答题卡上）：

13.函数
的单调增区间为 ．

14.在正方体
中，
分别为棱
和
的中点，则sin〈
，
〉的值为________．

15.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为
，要使其体积最大，则其高为 ．

16.在平面几何里，已知
的两边
互相垂直，且
，
则
边上的高
；拓展到空间，如图，三棱锥
的三条侧棱
两两相互垂直,且
,则点
到面
的距离

三.解答题（共6小题，要求写出解答过程或者推理步骤）：

17.(本题满分12)已知函数
的极值点为
和
．

（Ⅰ）求实
数
，
的值；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最大值.

18.(本题满分12分)在数列{
}中，
，且

，

（1）求
的值；

（2）猜测数列{
}的通项公式，并用数学归纳法证明。

19.(本题满分12分)如图，矩形
所在的平面与平面
垂直，且
，
，
，
分别为
的中点．

（Ⅰ） 求证：直线
与平面
平行；

（Ⅱ）若点
在直线
上，且二面角

的大小为
，试确定点
的位置．

20.(本题满分12分)已知函数
（
）．

（Ⅰ）若函数
在区间
上是单调递增函数，试求实数
的取值范围；

（Ⅱ）当
时，求证：
（
）．

21.(本题满分12分)已知直线
与椭圆

相交于
、
两点．

（1）若椭圆的离心率为
，焦距为
，求线段
的长；

（2）若向量
与向量
互相垂直（其中
为坐标原点），当椭圆的离心率
时，求椭圆长轴长的最大值．

[来源:Z*xx*k.Com]

22.(本题满分14分)已知函数

(1)当
时，求函数
的极小值；

(2)当
时，过坐标原点
作曲线
的切线，设切点为
，求实数
的值；

(3)设定义在
上的函数
在点
处的切线方程为
当
时，若
在
内恒成立，则称
为函数
的“转点”．当
时，试问函数
是否存在“转点”.若存在,请求出“转点”的横坐标,若不存在,请说明理由．

南安一中2014～2015学年度高二上学期期末考

理科数学试卷参考答案

∴
，
………………6分

当
变化时，
与
的变化情况如下表：

[来源:学。科。网]



1



2



3







0



0









单调递增



单调递减[来源:学科网ZXXK]



单调递增







……10
分

………………11分

∴
， ………………12分[来源:学|科|网]

18.解：（1）
6分

（2）猜测
。下用数学归纳法证明： 7分

①当
时，显然成立； 8分

②假设当

时成立，即有
，则当
时，由
得
，

故

，故
时等式成立；

③由①②可知，
对一切
均成立。 12分

19.解：（Ⅰ）证明：取
的中点
，连结
，
．

∵
分别是
的中点， ∴
，

∴
平面
， …………………3分

又
，且
平面
，
平面
，

∴
平面
． …………………
5分

（Ⅱ）解：如图，在平面
内，过
作
的垂线，记为
，则
平面
.

以
为原点，
、
、

所在的直线分别为
轴，
轴，
轴建立建立空间直角坐标系
.

∴
.

∴
，
，
． …………………7分

设
，则
.

设平面
的法向量为
，

则
∴

取
，得
，
，

∴
． .…………………9分

又平面
的法向量为
， .…………………10分

∴
，解得
或
.

故
或
（
或
）. …………………12分

20.解：（1）因为
…………1分，若函数
在区间
上是单调递增函数，则
恒成立，即
恒成立，所以
．………………2分

又
，则
，所以
．…………………4分

（2）当
时，由（Ⅰ）知函数
在
上是增函数，……5分

所以当
时，
，即
，则
．……8分

令
，则有
，………………9分

当
时，有
，因此
在
上是增函数，

所以有
，即可得到
．………11分

综上有
（
）． ………………12分

21.解：（1）