一、选择题（每题3分，共30分）

设m,n是不同的直线，
是不同的平面，下列命题中正确的是

A．若m//
B．若m//

C．若m//
D．若m//

2.正方体
中，
分别是
的中点，则过
三点的正方体
的截面形状是

A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对

3.如图，在三棱锥
中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，
底面
，
为垂足，则侧棱
与底面
所成角的余弦值为（　　）

A．
B．
C．
D．

4.若点
，
关于直线
对称，则
的方程是

A．
B．
C．
D．

5.直三棱柱
中，
，
分别是
的中点，
，则
与
所成的角的余弦值为

A．
B．
C．
D．

6.如图，在正方体
中,下面结论错误的是( )

A.
∥平面
B. 异面直线
与
所成的角为30°

C.
⊥平面
D.

6题 7题

7.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为

A.
B.
C.
D.

8.如图，在正方体
中，点
为线段
的中点.设点在线段
上，直线
与平面
所成的角为，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

9.在点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于点，一分钟后，其位置在
点，且
，再过两分钟后，该物体位于点，且
，则
的值为 （ ）

A.
B.
C.
D.

10．已知点
,直线
将△
分割为面积相等的两部分,则的取值范围是（　　）

A.
B.
C.
D.

二、填空题（每题4分，共24分）

11.两条平行直线
之间的距离为_________.

12.在平面直角坐标系
中，已知点
，分别以
的边
向外作正方形
与
，则直线
的一般式方程为 .

13.如图，正方体
，则下列四个命题：

①在直线
上运动时，三棱锥
的体积不变；

②在直线
上运动时，直线
与平面
所成角的大小不变；

③在直线
上运动时，二面角
的大小不变；

④
是平面
上到点D和
距离相等的点，则
点的轨迹是过
点的直线

其中真命题的个数是

14．如图，正方体
的棱长为1，点
是面对角线
上的动点，则
的最小值为

14题 15题

15．如图，在三棱锥
中，
，
，平面
平面
，
为
中点，点
分别为线段
上的动点（不含端点），且
，则三棱锥
体积的最大值为________．

16.已知直线
平面，
为垂足，长方体
中，
，
，
，则
的最大值为

三、解答题（共46分）

17．（10分）已知直线
过点
,直线
的斜率为
且过点
.(l)求
、
的交点的坐标；

(2)已知点
,若直线
过点且与线段
相交，求直线
的斜率的取值范围.

18．（12分）一个几何体是由圆柱
和三棱锥
组合而成,点
在圆
的圆周上,其正(主)视图,侧(左)视图的面积分别为10和12,如图所示,其中
平面
,
,
.
.

(1)求证：
.

(2)求三棱锥
的体积.

19．（12分）如图，已知正方体
的棱长为2，
分别是
、
的中点，过
、、作平面
交
于G．

(l)求证：
∥
；

(2)求二面角
的余弦值；

(3)求正方体被平面
所截得的几何体
的体积．

20.（12分）在平面直角坐标系
中，对于直线
：
和点
记
若<0，则称点
被直线
分隔.若曲线C与直线
没有公共点，且曲线C上存在点
被直线
分隔，则称直线
为曲线C的一条分隔线.

⑴ 求证：点
被直线
分隔；

⑵若直线
是曲线
的分隔线，求实数
的取值范围；

⑶动点M到点
的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线.

杭州二中2014学年第一学期高二年级期中考试数学卷（理科）

一、选择题（每题3分，共30分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

























二、填空题（每题4分，共24分）

12. 13.

14. 15. 16.

三、解答题（共46分）

17.（10分）

（12分）

19.(12分)

20.（12分）

杭州二中2014学年第一学期高二年级期中考试数学卷（理科）

一、选择题（每题3分，共30分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



B

C

D

A

D

B

C

B

B

B



二、填空题（每题4分，共24分）

三、解答题（共46分）

17.（10分）

【解析】

试题解析：（1）∵直线
过点

∴直线
的方程为
，即

又∵直线
的斜率为
且过点

∴直线
的方程为
，即

∴
，解得
即
、
的交点坐标为

由题得下图，



∵

∴直线
的斜率的取值范围为
或
.

18.【解析】(1)因为EA⊥平面ABC,AC?平面ABC,所以EA⊥AC,即ED⊥AC.

又因为AC⊥AB,AB∩ED=A,所以AC⊥平面EBD.

因为BD?平面EBD,所以AC⊥BD.

(2)因为点A,B,C在圆O的圆周上,且AB⊥AC,所以BC为圆O的直径.

设圆O的半径为r,圆柱高为h,根据正(主)视图,侧 (左)视图的面积可得,

解得

所以BC=4,AB=AC=2.

以下给出求三棱锥E-BCD体积的两种方法：

方法一：由(1)知,AC⊥平面EBD,

所以VE-BCD=VC-EBD=
S△EBD×CA,

因为EA⊥平面ABC,AB?平面ABC,

所以EA⊥AB,即ED⊥AB.

其中ED=EA+DA=2+2=4,

因为AB⊥AC,AB=AC=2,

所以S△EBD=
ED×AB=
×4×2=4,

所以VE-BCD=
×4×2=
.

方法二：因为EA⊥平面ABC,

所以VE-BCD=VE-ABC+VD-ABC=
S△ABC×EA+

S△ABC×DA=
S△ABC×ED.

其中ED=EA+DA=2+2=4,

因为AB⊥AC,AB=AC=2,

所以S△ABC=
×AC×AB=
×2×2=4,

所以VE-BCD=错误！未找到引用源。
×4×4=
.

19.【解析】

（1）证明：在正方体
中，因为平面
平面
,

平面
平面
平面
平面

（2）解：如图，以为原点分别以
为
轴，建立空间直角坐标系，

则有

设平面
的法向量为
则由
和
得

取
得

又平面
的法向量为

故

所以截面
与底面
所成二面角的余弦值为

（3）解：设所截几何体
的体积为

与
相似，

故

20.试题解析：（1）由题得，
，∴
被直线
分隔.

（2）由题得，直线
与曲线
无交点

即
无解

∴
或
，∴
.

又对任意的
，点
和
在曲线
上，满足
，被直线
分隔，所以所求
的范围是
．

（3）由题得，设
，∴
，

化简得，点
的轨迹方程为

①当过原点的直线斜率存在时，设方程为
.

联立方程，
.

令
，因为
，

所以方程
有实解，直线
与曲线有交点．直线
不是曲线的分隔线．

②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为
.

显然
与曲线
没有交点，又曲线上的两点
对于直线
满足
，即点
被直线
分隔．所以直线
是分隔线．

综上所述，仅存在一条直线
是的分割线.