一．选择题（每小题5分，共50分）

1. 函数
,
,则

A.
B.
C.
D.

2．双曲线
的渐近线方程是

A．
B．
C．
D．

3．已知向量
，则它们的夹角是

A．
B．
C．
D．

4．“
”是“方程
表示椭圆”的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

5. 已知
是椭圆
的两个焦点，过
的直线与椭圆交于Ｍ、Ｎ两点，则
的周长为

Ａ. 16　　 Ｂ. 8　　　 Ｃ. 25　　　 Ｄ. 32

6．如右图所示，正三棱锥
中，
分别是
的

中点，为
上任意一点，则直线
与
所成的角的大小是（ ）

(A)
(B)
　 (C)
(D) 随点的变化而变化

7．已知双曲线
与抛物线
有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若
，则双曲线的渐近线方程为( )

（A）
　 （B）
（C）
（D）

8. 已知双曲线
，以右焦点为圆心，
为半径的圆交双曲线两渐近线于点
（异于原点
），若
，则该双曲线的离心率是（　　）

（A） （B）
（C）
（D）

9.已知三棱柱
的侧棱与底面边长都相等，
在底面
上的射影为
的中点，则异面直线
与
所成的角的余弦值为（ ）（A）
（B）
（C）
(D)

10. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，
为椭圆顶点，
为右焦点，延长
与
交于点，若
为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

二．填空题（每小题4分，共28分）

11. 抛物线
的准线方程为

12. 直线
被圆
所截得的弦长等于__________

13．抛物线
的焦点到准线的距离是 ．

14．直线
与曲线
相切，则切点的坐标为 ．

15．如图，在直三棱柱
中，
，
，

则直线
和
所成的角是 ．

16．已知双曲线
左右焦点分别为
，焦距为，点为双曲线右支上一点，且
，
，则该双曲线的离心率为

17.已知四面体
中，
，且
两两互相垂直，点
是
的中心，将
绕直线
旋转一周，则在旋转过程中，直线
与直线
所成角的余弦值的最大值是___ _

三．解答题

18. （本题满分14分）

已知函数
在
处取得极值，且
的图象在点
处的切线与直线
垂直，求:

（Ⅰ）
的值；

（Ⅱ）函数
的单调区间.

19．（本题满分14分）

如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
，

平面
,点是
的中点,是
的中点．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值．

20. （本题满分14分）

如图，圆
：
．

（Ⅰ）若圆
与轴相切，求圆
的方程；

（Ⅱ）已知
，圆
与轴相交于两点
（点
在点
的左侧）．过点
任作一条直线与圆
：
相交于两点
．问：是否存在实数，使得
？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分15分）

已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆
右焦点
，且

（I）求椭圆
的标准方程；

（II）若直线
：
与椭圆
相交于，两点（
都不是顶点），且以
为直径

的圆过椭圆
的右顶点，求证：直线
过定点，并求出该定点的坐标．

22．（本小题满分15分）

已知函数
,
,且
点
处取得极值．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若关于的方程
在区间
上有解，求
的取值范围；

（Ⅲ）证明：
．

高二（上）数学（理）期末卷参考答案

一．选择题

三．解答题

18．解：（Ⅰ）

（Ⅱ）函数
的递增区间为
和
，递减区间是

19． (1)证明： 取
中点为
，连

∵是
的中点 ∴
是
的中位线,∴

∵是
中点且
是菱形，

，∴

. ∴

∴ 四边形
是平行四边形. 从而
,

∵
平面
,
平面
,

∴
∥平面

（Ⅱ）解：由(Ⅰ) 得
，

∴直线
与平面
所成角就是直线
与平面
所成角。

过作
,垂足为
，连

∵
平面
∴面
平面

又∵面
平面
=
，
∴

∴
是直线
与平面
所成的线面角

又底面
是菱形，
，
，是
的中点∴
,

又∵
,
∴
∴
，
．

∴直线
与平面
所成的线面角的正弦值为
．

20.解：（Ⅰ）因为

得
，

由题意得
，所以

故所求圆C的方程为
．

（Ⅱ）令
，得
，

即

所以

假设存在实数，

因为
，所以
，即
，得
．

当直线AB与轴垂直时，也成立．

故存在
，使得
．

21. 解：（I）由题意设椭圆的标准方程为
，

由已知得：
且
，

∴
，∴
．

∴椭圆的标准方程为
． …… 5分

（II）设
，
，

联立
得
，

…… 7分

22．（本小题满分15分）

22. 解：（Ⅰ）∵
， ∴

∵函数
在点
处取得极值，

∴
，即当
时
，

∴
，则得
.经检验符合题意 ……5分

（Ⅱ）∵
,∴
,

∴
.

令
, ……6分

则
.

∴当
时，
随的变化情况表：

1

（1,2）

2

（2，3）

3







+

0

-









↗

极大值

↘





计算得：
，
，
，

所以
的取值范围为
。 …… 10分

（Ⅲ）证明：令


，

则

， ……11分

令
，则
，

函数
在
递增，
在
上的零点最多一个 ……12分

又
，
，

存在唯一的
使得
， ……13分

且当
时，
；当
时，
.

即当
时，
；当
时，
.

在
递减，在
递增，

从而

. ……14分

由
得
即
，两边取对数得：
，
，

，

从而证得
. ……15分