广东省广州市五校2014-2015学年高二上学期期末联考数学理试题 2015年1月

注意事项：

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

非选择题必须用黑色字迹的钢笔或者签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目的指定区域内。

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项正确）

1.设集合
，
，则
( )

A.
B.
C.
D.

2.
=（ ）

A.
B.
C.
D.

3.已知等比数列
的通项公式为
，则该数列的公比是（ ）

A.
B. 9 C.
D. 3

4．“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5. 如果一个几何体的三视图如图所示(长度单位: cm),

则此几何体的表面积是（ ）

A.
B.

C.
D.

6. 圆
与圆
的位置关系为（ ）

A．相交 B．外切 C． 内切 D．外离

7．下列有关命题的叙述错误的是 （ ）

A．对于命题

B．若“P且Q”为假命题，则P，Q均为假命题

C．“
”是
的充分不必要条件

D．命题“若
”的逆否命题为“若
”

8.实数
满足不等式组
，则
的最大值为（ ）

A. 1 B.0 C.-1 D. -3

9.如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：百米），已测得隧道两端点
到某一点
的距离分别为5和8，
，则
之间的距离为（ ）

A. 7 B.
C. 6 D. 8

10．阅读如图所示的程序框图，输出的结果
的值为（　　）

A．0 B．
C．
D．

二.填空题（共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷相应位置.）

11. 如图所示，向量
在由单位长度为1 的正方形组成的网格中

则
▲ .

12．双曲线
的两条渐近线的方程为 ▲ .

13．设
,
,则
的值是 ▲ .

14. 已知等比数列
中，
且满足
，若存在两项
使得
，

则
的最小值为 ▲ .

三．解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）.

15. （本小题满分12分）

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cosB＝.

(Ⅰ)若b＝4，求sinA的值；

(Ⅱ)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．

16．（本小题满分13分）

对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

分组

频数

频率





10

0.25





24















2

0.05



合计



1





（Ⅰ）求出表中
及图中
的值；

（Ⅱ）若该校高二学生有240人，试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间
内的人数；

（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间
内的概率.

17．（本小题满分13分）

已知数列
的前
项和为
，
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，
＝
，记数列
的前
项和
，求
．

18．（本小题满分14分）

在直角梯形ABCD中，AD((BC，
,
,如图（1）．把
沿
翻折，使得平面
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若点
为线段
中点，求点
到平面
的距离；

（Ⅲ）在线段
上是否存在点N，使得
与平面
所成角为
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．

19.（本小题满分14分）

设动点
到定点

的距离比它到
轴的距离大1，记点
的轨迹为曲线
.

（Ⅰ）求点
的轨迹方程；

（Ⅱ）设圆
过

，且圆心
在曲线
上，
是圆
在
轴上截得的弦，试探究当
运动时，弦长
是否为定值？为什么？

20.（本小题满分14分）

设函数

（Ⅰ）当
时，求
在区间
上的值域；

（Ⅱ）若
，使
，求实数
的取值范围.

2014—2015学年度第一学期期末模块考试五校联考高二年级理科数学试题答案

选择题ACDBA BBBAA

11. 3 12．
13．
14. 4

填空题

15. （本小题满分12分）

解：(1)∵cosB＝>0，且0

由正弦定理得＝， …………………4分

∴sinA＝＝＝. …………………6分

(2)∵S△ABC＝acsinB＝4，∴×2×c×＝4，∴c＝5. …………………8分

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB， …………………10分

∴b＝

＝＝. …………………12分

16．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由分组
内的频数是
，频率是
知，
，所以
. ……2分

因为频数之和为
，所以
，
. ……………3分

. ……………………………………………………4分

因为
是对应分组
的频率与组距的商，所以
. ………6分

（Ⅱ）因为该校高二学生有240人，分组
内的频率是
，

所以估计该校高二学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为
人. ………8分

（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有
人， ………9分

设在区间
内的人为
，在区间
内的人为
.

则任选
人共有

，
15种情况， ……11分

而两人都在
内只能是
一种， ………………………12分

所以所求概率为
. ………………………13分

17．（本小题满分13分）

解：（1）当
时，
， ………………………1分

当
时，
………………………3分

即：
， ………………………5分

数列
为以2为公比的等比数列
………………………7分

（2）由bn＝log2an得bn＝log22n＝n， ………………………9分

则cn＝
＝
＝
－
， ………………………11分

Tn＝1－
＋
－
＋…＋
－
＝1－
＝
. ………………………13分

18、（本题满分14分）

解：（Ⅰ）由已知条件可得

．………………………………2分

∵平面
，
．

∴
．……………………………………3分

又∵
，∴
．……………………………………4分

（Ⅱ）以点
为原点，
所在的直线为
轴，
所在的直线为
轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得

．

∴
．……………6分

设平面
的法向量为
，

则
∴

令
，得平面
的一个法向量为
， …………8分

∴点M到平面
的距离
．…………………………………10分

（Ⅲ）假设在线段
上存在点N，使得
与平面
所成角为
．………11分

设
，则
，∴
，

又∵平面
的法向量
且直线
与平面
所成角为
，

∴
，……………………………………………13分

可得
，∴
（舍去）．

综上，在线段
上存在点N，使
与平面
所成角为
，此时
．……14分

19.（本小题满分14分）

解：（1）依题意知，动点
到定点

的距离等于
到直线
的距离，曲线
是以原点为顶点，

为焦点的抛物线………………………………2分

　　　　∵
∴
　

∴　曲线
方程是
………4分

（2）设圆的圆心为
，∵圆
过

，

∴圆的方程为　
　……………………………7分

令
得：
　　

设圆与
轴的两交点分别为
，

方法1：不妨设

，由求根公式得

，
…………………………10分

∴

又∵点
在抛物线
上，∴
，

∴　
，即
＝4-------------------------------------13分

∴当
运动时，弦长
为定值4…………………………………………………14分

　〔方法2：∵
，
　

∴

　又∵点
在抛物线
上，∴
， ∴　
　

∴当
运动时，弦长
为定值4.

20. （本小题满分14分）

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