八县一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）

1．命题：“
，
”的否定形式是（ ）

A
，
B
，

C
，
D
，

2．抛物线

的焦点坐标为（ ）

A
B
C
D

3．若向量
，向量
，且满足向量
//
，则
等于（ ）

A
B
C
D

4．“
”是“方程
表示的曲线是焦点在
轴上的椭圆”的(　　)

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件  C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

5．经过点
，且与双曲线

有相同渐近线的双曲线方程是（ ）

A
B
C
D

6．如图所示，在平行六面体
中，点
为上底面对角线
的中点，若
，则（ ）

A
B

C
D

7．
中,
，点
在双曲线
上，则
=（ ）

A
B
C
D

8．如图所示，在棱长为1的正方体
中，
是棱
的中点，则
与
所成角的余弦值为（ ）

A
B
C
D

9． 已知抛物线

的焦点为
，准线为
，过抛物线上一点
作
垂直
于
，若
,则
的面积为（ ）

A
B
C
D

10．如果命题“若
，
，则
”是假命题，那么字母
在空间所表示的几何图形可能是(　　)

A
全是直线 B
全是平面

C
是直线，
是平面 D
是平面，
是直线

11．已知椭圆
与双曲线
有共同的焦点
和
，且满足
是
与
的等比中项，
是
与
的等差中项，则椭圆的离心率为( )

A
B
C
D

12．在平面直角坐标系中，一条双曲线经过旋转或平移所产生的一系列双曲线都具有相同的离心率和焦距，称它们为一组“共性双曲线”；例如将等轴双曲线
绕原点逆时针转动
，就会得到它的一条“共性双曲线”
；根据以上材料可推理得出双曲线
的焦距为（ ）

A
B
C
D

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。）

13．命题“若
，则
是直角三角形”的否命题的真假性为

14．若“
”是“
”的充分不必要条件，则
的取值范围为

15．已知
是以
为直角顶点的等腰直角三角形，其中
,
（
）,则

16．在平面直角坐标系中，已知
其中
,若直线
上有且只有一点
，使得
，则称直线
为“黄金直线”，点
为“黄金点”。由此定义可判断以下说法中正确的是

当
时，坐标平面内不存在黄金直线；

当
时，坐标平面内有无数条黄金直线；

当
时，黄金点的轨迹是个椭圆；

当
时，坐标平面内有且只有一条黄金直线；

三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．命题
：
；命题
：
。

若
为假命题，
为假命题，则求
的取值范围。

18．已知双曲线
：
的焦距为
，且经过点
。

(Ⅰ)求双曲线
的方程和其渐近线方程；

(Ⅱ)若直线
与双曲线
有且只有一个公共点,求所有满足条件的
的取值。

19．如图所示，直三棱柱
中，
是线段
的中点，
，
。

(Ⅰ)证明：
面
；

(Ⅱ)求面
与面
所成的锐二面角的余弦值。

20. 已知抛物线

过点
。

(Ⅰ)求抛物线
的方程及其准线方程；

(Ⅱ) 过抛物线焦点
的直线
与抛物线
相交于两点

，点
在抛物线
的准线上，且满足直线
平行
轴，试判断坐标原点
与直线
的关系，并证明你的结论。

21. 已知椭圆
(
)的离心率为
，且右焦点
到直线
的距离为
。

(Ⅰ) 求椭圆的方程；

(Ⅱ)已知点
，过原点且斜率为
的直线
与椭圆交于两点

，求
面积的最大值。

22． 如图（1），
为等边三角形，
是以
为直角顶点的等腰直角三角形且
，
为线段
中点，将
沿
折起（如图2），使得线段
的长度等于
，对于图二，完成以下各小题：

(Ⅰ)证明：
平面
；

(Ⅱ)求直线
与平面
所成角的正弦值；

（III）线段
上是否存在点
，使得平面
与平面
垂直？若存在，请求出线段
的长度；若不存在，请说明理由。

（图1） （图2）

2014---2015学年度第一学期八县（市）一中期末联考

高中 二 年 数学（理）科答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



C

C

D

C

B

A

D

A

B

D

D

C





二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13. 假 14.
15. -1 16. ①②③

三、解答题（本大题共6小题，17-21每小题12分，22题14分，共74分）

17.解：不妨设p为真，要使得不等式恒成立只需
,

又∵当
时，

∴
……………………………4分

不妨设q为真，要使得不等式有解只需
，即

解得
………………………………………………………………………………8分

∵
假，且“
”为假命题, 故 q真p假………………………………………………10分

所以
∴实数a的取值范围为
……………………………………………12分

18.解：(1)由题意可知：双曲线的焦点为（-2, 0）和（2,0）

根据定义有

∴
，由以上可知：
．∴所求双曲线C的方程为：
．…4分

渐近线方程为：
…………………………………………………………………………6分

(2)由
得：
.………………………………………………7分

①当
即
时，此时直线
与双曲线相交有一个公共点，符合题意……………8分

② 当
即
时，由△=0得
，

此时直线
与双曲线相切有一个公共点，符合题意………………………………………………11分

综上所述：符合题意的k的所有取值为
。……………………………………12分

19.解：（法一）(1)连结
，连结

又D,M分别是AB,AC1的中点，故
为△ABC1的中位线

∴
//

又∵
∴
……………4分

（2）如图，建立空间直角坐标系C-xyz. ……………………………………5分

∴
∴
，

设平面A1CD的一个法向量为
，

则

，取
，得
．……………………………8分

依题意可知平面A1CA的法向量：
………………………………………………10分

则

∴面
与面
所成的锐二面角的余弦值为
……………………………………12分

（法二）(1) 如图，建立空间直角坐标系C-xyz. ………………………………………………1分

∴

∴
，
,

设平面A1CD的一个法向量为
，

则

，取
，得
．……………………………4分

∴
∴

又∵
∴
…………………………………………………8分

（2）依题意可知平面A1CA的一个法向量：
…………………………10分

则

∴面
与面
所成的锐二面角的余弦值为
……………………………………12分

（说明：由于平面的法向量不唯一，所以解答过程不唯一）

20.解:（1） 将M(1，-2)代入y2=2px， 得(-2)2=2p·1，所以p=2.

故所求的抛物线C的方程为：
…………………………………………………………3分

其准线方程为x=-1. …………………………………………………………………………………4分

（2）判断坐标原点
在直线
上，……………………………………………………………5分

现证明如下：依题意可设过F的直线l方程为：x=my+1（m
），

设
,

由
得：

依题意可知
，且
………………………………………………………9分

又∵

又∵
， ∴

即证坐标原点
在直线
上……………………………………………………………………12分

（说明：直线l方程也可设为：y=k（x-1），但需加入对斜率不存在情况的讨论，否则扣1分）

21.解：(1) 依题意可知
,∴