襄阳 高二联考试题数学（理科）

命题人：王必挺 审题人：周雪丽 学校：襄阳市第一中学

注意事项：

答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答题卡和答题卷上填写清楚。

选择题答案用2B铅笔直接填涂在答题卡上，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效。

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．）

1．在下列各数中，最大的数是（ ）

A．
B.
C.
D.

2.已知直线
：
,
：
,若
,则的值为（ ）

A．0或2 B．0或
C．2 D．-2

3.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为( )
 A．11 B．02 C． 05 D．04

4．如图给出的是计算1＋
＋
＋
＋
的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句分别是(　　)

A．
B．

C．
D．

5.将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为004，这600名学生分住在三个营区．从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区．三个营区被抽中的人数依次为(　　)

A． 24,17,9 B．25,16,9? ? C． 25,17,8 D． 26,16,8? ?

6.根据如下样本数据：

x

3

4

5

6

7

8



y

4

2.5



0.5









得到的回归方程为
,则(　　)

A．
B．

C．
D．

7.某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号，则拨号不超过两次而接通电话的概率为

A.
B.
C.
D.

8．已知
，则
＝(　　)

A．
B．
C．
D．

9．若圆
始终平分圆
的周长,则实数
应满足的关系是( )

A．
B．

C．
D．

10.圆
的方程为
，圆
的方程为
，过圆
上任意一点作圆
的两条切线
，切点分别是
，则
的最小值是( )

A.12 B.10 C.6 D.5

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．)

11.在空间直角坐标系中，点
关于轴的对称点的坐标为 _______．

12.已知
，应用秦九韶算法计算
时的值时，
的值为________．

13.设随机变量
，
，若
，则
________.

14.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学排在上午(前4节)，体育排在下午（后2节），不同的排法种数是______.

15．设有一组圆
：
(为正整数)，下列四个命题：

①存在一条定直线与所有的圆均相交

②存在一条定直线与所有的圆均不相交

③所有的圆均不经过原点

④存在一条定直线与所有的圆均相切

其中真命题的序号是 ．（写出所有真命题的序号）

三、解答题：(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

16. （本小题满分12分）已知
的顶点
边上的中线
所在直线方程为
，

边上的高
所在直线方程为
.求

（1）顶点
的坐标；

（2）直线
的方程.

17.(本小题满分12分）已知：
设
.

(1) 求的值；

(2)
的展开式中的哪几项是有理项（回答项数即可）；

（3）求
的展开式中系数最大的项和系数最小的项.

18．（本小题满分12分）某班级共有60名学生，先用抽签法抽取10名学生调查他们的学习情况。若抽查结果如下：

每周学习时间（小时）











人数

2

4

3

1



完成频率分布直方图；

根据频率分布直方图估计该班学生每周学习的平均数、众数、中位数；

(3)若再从抽得的10中抽取3人，在抽取的3人中恰有一个来自第一组（
段）的条件下，求第二组至少抽取一人的概率.

19．（本小题满分12分）已知关于的一元二次函数

(1) 若
分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次正面朝上出现的点数，

求满足函数
在区间[
上是增函数的概率；

(2)设点（，
）是区域
内的随机点，求函数
上是增函数的概率.

20．（本小题满分13分）受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计数据如下:

品牌

甲

乙



首次出现故障时间年













轿车数量(辆)

2

3

45

5

45



每辆利润(万元)

1

2

3







将频率视为概率,解答下列问题:

(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;

(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为
,生产一辆乙品牌轿车的利润为
,分别求
的分布列;

(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从生产一辆品牌轿车的利润均值的角度考虑,你认为应该生产哪种品牌的轿车?说明理由.

21．（本小题满分14分）已知圆
经过点A(－2,0)，B(0,2)，且圆心
在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆
相交于P、Q两点．

(1)求圆
的方程；

(2)若
·
＝－2，求实数k的值；

(3)过点
作动直线交圆
于，两点．试问：在以
为直径的所有圆中，是否存在这样的圆，使得圆经过点
？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

襄阳四校联考高二数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题

ABCAB ACDCC

二、填空题

11.
12.27 13.
14.192 15. ①②③④

三、解答题

16.解：（1）由已知得直线
的方程为：
……………………3分

解方程组
得
………………………5分

（2）设
，则
……………………………6分

在直线
上

即
…………………8分

在直线
上

…………………9分

由
得
，即
…………………………10分

于是直线
的方程为：
…………………………12分

17.解：（1）由已知
得：
………………………2分

解得:
……………………………………………………4分

（2）当
时，
展开式的通项为

要为有理项则

为整数，此时可以取到0,3,6, ……………7分

所以有理项分别是第1项，第4项，第7项； ………………………………………………8分

（3）
展开式的通项为

的展开式中共有8项,其中第四项和第五项的二项式系数最大,而第五项的系数为正且等于第五项的二项式系数,故第五项的系数最大,即系数最大项为
=
…………………………10分

第四项的系数为负且等于第四项二项式系数的相反数,故第四项的系数最小,即系数最小项为
…12分

18.解：(1)图略 ……………………………………………4分

（2）平均数：18 ………………………………………6分

众数： 15 ………………………………………7分

中位数：
………………………………………9 分

（3）记“抽取的3人中恰有一个来自第一组”为事件，“抽取的3人中第二组至少抽取一人”为事件 “，则
=
………………………………10分

………………………………12分

19.解：(1)∵函数
的图象的对称轴为

要使
在区间
上为增函数，当且仅当>0且
，……………2分

基本事件共36个； …………………………………………………………………3分

所求事件包含基本事件：（2,1），（3,1），（4,1），（5,1），（6,1）,(4,2),(5,2),(6,2),(6,3)

所求事件包含基本事件的个数是9 …………………………………………………………………5分

∴所求事件的概率为
. …………………………………………………… 6分

(2)由（1）知当且仅当
且>0时，函数
上为增函数，

依条件可知试验的全部结果所构成的区域为
，构成所求事件的区域为三角形部分.

由
………………………………………………8分

∴所求事件的概率为
. …………………………………………………… 12分

20.解:(1)设“品牌轿车甲首次出现故障在保修期内”为事件,则
. ……………4分

(2)依题意
的分布列分别如下:

1

2

3













……………………………………………………7分

















…………………………………………………10分

(3)由(2)得

……………………12分

,所以应生产甲品牌的轿车. ………………………………………13分

21.解：(1)设圆心C(a，a)，半径为r.因为圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，所以|AC|＝|BC|＝r，易得a＝0，r＝2，

所以圆C的方程是x2＋y2＝4. ………………………………………………………3分

(2)因为
·
＝2×2×cos〈
，
〉＝－2，且
与
的夹角为∠POQ，

所以cos∠POQ＝－
，∠POQ＝120°，所以圆心C到直线l：kx－y＋1＝0的距离d＝1，

又d＝
，所以k＝0. …………………………………………………………………………7分

（联立直线与圆的方程求解酌情给分）

(3)(ⅰ)当直线的斜率不存在时，直线经过圆
的圆心
，此时直线与圆
的交点为
，
，
即为圆
的直径，而点
在圆
上，即圆
也是满足题意的圆 ………………………………8分

(ⅱ)当直线的斜率存在时，设直线
，由
，

消去整理，得
，由△
，得
或
．

设
，则有
① …………………………… 9分

由①得
， ②

， ③

若存在以
为直径的圆经过点
，则