命题人：程玲

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

如果直线
过点P(1，2)，且
不经过第四象限，那么
的斜率的取值范围是（ ）A．[0，2] B、[0，1] ? C、
D、

某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N（110，102），若P（100≤ξ≤110）=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（ ）A．10 B．9 C．8 D．7

一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A．
B．
C．
D．

在
的展开式中，常数项是A．－28 B．－7 C．7 D． 28

函数
的值域为（ ）A.
B.
C.
D

在数列
中，若对于任意的
均有
为定值，且
，则数列
的前100项的和
=（ ）A．132 B．299 C．68 D．99

在△ABC中，∠ABC = 60°，AB = 2，BC＝6，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的概率为( ) A．
B．
C．
D．

已知函数
的图象与直线y=m有三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），那么x1+2x2+x3的值是（ ）A．
B．
C．
D.

已知
的三内角
所对的边的长分别为
，
为该三角形所在平面内一点，若
,则
是
的（ ）A.内心 B.重心 C.垂心 D.外心

函数
，直线
与函数
的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次标记为
，下列说法错误的是（ ）A.
B.
C.
D.若关于的方程
恰有三个不同的实根，则取值唯一

二．填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分。将答案填在答题卡相应位置上。)

求值：
=

将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为 　

已知等比数列
的各项均为正数，公比
，设
，
，则
(填
)

如果关于的不等式
和
的解集分别为
和
，那么称这两个不等式为“对偶不等式”.如果不等式
与不等式
为“对偶不等式”，且
，那么
=

在平面直角坐标系
中，点
,直线
，设圆
的半径为1，圆心在
上.若圆
上存在点
,使
,则圆心
的横坐标的取值范围

三．解答题(本大题共6小题，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)

(本大题满分12分)已知幂函数
的图像关于轴对称，且在
上是减函数，求满足不等式
的的取值范围.

(本大题满分12分)已知向量
，
，
．（1）求函数
的最小正周期及单调递减区间；（2）记△
的内角
的对边分别为
．若
，
，求的值.

（本小题满分12分）某校高二年级共有学生1000名，其中走读生750名，住宿生250名，现从该年级采用分层抽样的方法从该年级抽取n名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n名同学每天晚上有效学习时间(单位：分钟)的数据，按照以下区间分为八组：[0，30)，[30，60)，[60，90)，[90，120)，[120，150)，[150，180)， [180，210)，[210，240)，得到频率分布直方图如下图．已知抽取的学生中每天晚上有效学习时间少于60分钟的人数为5人．(1)求n的值并求有效学习时间在[90，120)内的频率；
（3）若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望．参考公式：
参考列表：

P(K2≥k0)

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025



k0

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024





（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
,平面
⊥底面
，
为
的中点，
是棱
上的点，
，
,
． （I） 求证：平面
⊥平面
； （II）若二面角
为30°，设
,?试确定的值。

（本小题满分13分）已知圆
的圆心在直线
上，且与直线
相切。（1）若直线
截圆
所得弦长为
，求圆
的方程。（2）若圆
与圆
外切，试求圆
的半径。（3）满足已知条件的圆显然不只一个，但它们都与直线
相切，我们称
是这些圆的公切线。这些圆是否还有其他公切线？若有，求出公切线的方程，若没有，说明理由。

(本大题满分14分)设数列
的前项和为
，已知
(n∈N*).（1）求数列
的通项公式；（2）设
，数列
的前项和为
，若存在整数，使对任意n∈N*且n ≥2，都有
成立，求的最大值
；（3）对任意n∈N*，都有

高二12月月考数学（理）参考答案

17. 解（1）

　　　　　　　　　　　　　 ………3分

所以
， 　　　　　　 ……………………4分

递减区间是
； 　　…………………………………6分

（2）由
得
，
　　………………８分

当
时，
，即
，

（负舍）
； …………………1０分

当
时，
，即
，

（负舍）
；………………1２分

18. (1)解：设第i组的频率为Pi (i = 1，2，…，8)由由频率分布直方图知：
∴有效学习时间少于60分钟的频率为
，故
，∴n = 100 2分又
∴
∴有效学习时间在[90，120)内的频率为
． 4分

(2)解：抽取的100人中，走读生有
人，住读生25人，∴a = 25，b = 10 6分
由于K2 > 5.024，所以有97.5%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关． 8分

(3)解：由(1)知：第①组1人，第②组4人，第⑦组10人，第⑧组5人，共20人
∴
10分∴X的分布列为

12分

19. 解：（I）AD // BC，BC=
AD，Q为AD的中点， ∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．

∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．∵PA=PD，∴PQ⊥AD．∵ PQ∩BQ=Q， ∴AD⊥平面PBQ．

∵ AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．……6分

（II）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD． 如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则平面BQC的法向量为
；
，
，
，
．

设
，则
，
，

∵
，∴
， ∴

在平面MBQ中，
，
，

∴ 平面MBQ法向量为
．

∵二面角M-BQ-C为30°，
，∴
．………12分

20. 解：设圆的圆心坐标为
，则它的半径

(1)到直线
的距离
，因而圆截该直线所得弦长为

，

圆的方程为
……………………..4分

（2）两圆的连心线长为
，因为两圆外切，所以

…………………………8分

……………….13分

21. 解: （1）由
，得
(n≥2).

两式相减，得
，即
(n≥2).

于是
，所以数列
是公差为1的等差数列.

又
，所以
.

所以
，故
. 4分

（2）因为

，则
.

令
，则

.

所以

.

即
，所以数列
为递增数列.

所以当n ≥2时，
的最小值为
.

据题意，
，即
.又为整数，故的最大值为18………..10分

(3)由(2)知:
当
时，
成立

当
时，

综上所述：
成立 14分