2015年1月

绵阳南山中学高2016届高二上学期期末热身考试

数学试题（理科）

命题人：雍华 审题人：王怀修，杨周建

一、选择题（本大题共有10个小题，每题4分，共40分.每个小题给出的四个选项中只有一个正确.）

1．《几何原本》的作者是（　 ）

A.欧几里得 B.阿基米德 C.阿波罗尼奥斯 D.托勒玫

2．南山中学膳食中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：根据表中数据，采用分层抽样的方法抽取的20人中，喜欢吃甜品的男、女生人数分别是（ ）

A. 1,6 B. 2,12 C. 2,4 D. 4,16

喜欢甜品

不喜欢甜品

合计



女生

60

20

80



男生

10

10

20



合计

70

30

100



（2题表） (3题图)

3．为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是(　　)

A．中位数为83 　　 B．众数为85 C．平均数为85 　　D．方差为19

4．下列说法中正确的是（ ）

A．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率，因此频率就是概率.

B．要从1002名学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2名学生，每人被抽中概率为
.

C.事件A,B至少有一个发生的概率不一定比事件A,B中恰有一个发生的概率大.

D.若事件A,B满足
，则事件A,B互为对立事件.

5．若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为( )

A.
B.
C.
D.

6．已知双曲线
的右焦点F为抛物线C：
的焦点，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　)

A．4 B．6 C．8 D．16

7．如下图程序执行后输出的结果是( )

A．－1 B．0 C．1 D．2

（7题图） （8题图）

8.分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分（如上图）中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为(　 　)

A.
B.
C.
D.

9．已知圆
,圆
,
分别是圆
上的动点,
为
轴上的动点,则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10.设A为椭圆
(
)上一点, 点A关于原点的对称点为B, F为椭圆的右焦点, 且AF⊥BF. 若∠ABF∈[
,
],则该椭圆离心率的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.）

11. 空间直角坐标系中与点
关于
平面对称的点为
，

则
= ．

12.若直线

为常数）与直线
平行，

则
= .

13．如右图，输出结果为 . （13题图）

14. 已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的右焦点为
，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则
的取值范围是 .

15.给出下列结论：

动点
分别到两定点
连线的斜率之乘积为
，设
的轨迹为曲线
，
、
分别为曲线
的左、右焦点，则下列命题中：

（1）曲线
的焦点坐标为
、
；

（2）若
,则
；

（3）当
时，
的内切圆圆心在直线
上；

（4）设
，则
的最小值为
；其中正确命题的序号是： .

三、解答题（本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

16.南山中学高二某班
名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于
秒到
秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组
，第二组
…,第五组
，如右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）请根据频率分布直方图估计该组数据的众数和中位

数（精确到
）；

（2）从成绩介于
和
两组的人中任取2人，

求两人分别来自不同组的概率.

（16题图）

17．三角形的三个顶点是
,
,
，点
为
边所在直线上一点，

（1）求
边的中线所在直线
的方程；

（2）若直线
是
的角平分线，求直线
的方程．

18.已知圆
内有一点
,
为过点
且倾斜角为
的弦，

（1）当
时，求弦
的长；

（2）当弦
被
平分时，圆
经过点
且与直线
相切于点
，求圆
的标准方程．

19. 已知
分别为椭圆
左、右焦点，点
在椭圆上，且
轴，
的周长为6；

求椭圆的标准方程；

是曲线C上异于点
的两个动点，如果直线
与直线
的倾斜角互补，证明：直线
的斜率为定值，并求出这个定值．

高二热身考试数学（理）参考答案：

选择题：

1-5：ABCCD 6-10:CBBAD

二、填空题：

11.4 12.-1 13. 9 14.
15.（1）（3）

三、解答题

16.解：（1） 由图可知众数落在第三组
是
0……….2分

因为数据落在第一、二组的频率

数据落在第一、二、三组的频率

所以中位数一定落在第三组
中.假设中位数是
，所以
解得中位数
………….4分

（2）由题意，[13,14）组有2人，（17,18]组有3人；…………….6分

设[13,14）组中2人分别为A,B;（17,18）组中3人分别为X,Y,Z,，事件A为抽取的两人来自不同组，则基本事件有：（AB）,(AX),(AY),(AZ),(BX),(BY),(BZ),(XY),(XZ),(YZ)共10种；

事件A包含基本事件有(AX),(AY),(AZ),(BX),(BY),(BZ)共6种…………….8分

所以P(A)=0.6……………………………………………………..………..10分

17.解（1）设AB的中点D坐标为（x，y），则D（-1，2）………2分

又C（0，3）,所以直线
的方程为
即：
…....5分

（2）设A点关于直线
的对称点为
，则

；
……….8分

…………10分

18．解：（1）由题意：圆心O(0,0)，
，
；…2分

圆心到直线AB的距离
，弦
………5分

(2)由题意，弦
被
平分，则
…………6分

19．解：（1）由题意，
，c＝1, ．．．．．．1分

　　　　　　 ．．．．．．2分

．．．．．．3分

椭圆方程为
． 　　　　　　 ．．．．．．4分

（2）由（1）知
，设直线PＥ方程：得
，代入
得

　 ．．．．．．6分

设Ｅ（
，
），Ｆ（
，
）．因为点P（1，
）在椭圆上，所以

，
。　　　

又直线PF的斜率与PE的斜率互为相反数，在上式中以
代
，可得

，
。　 ．．．．．．．9分

所以直线EF的斜率
。

即直线EF的斜率为定值，其值为
。 ．．．．．．．10分