一、选择题( 共 12 题 ,共 48 分)

1、如图所示，在河岸 ac 一侧测量河的宽度，测量以下四组数据，较适宜的是(　　)．

a． c ， α ， γ ?? b． c ， b ， α

c． c ， a ， β ?? d． b ， α ， γ

2、从 a 处望 b 处的仰角为 α ，从 b 处望 a 处的俯角为 β ，则 α ， β 的关系是(　　)．

a． α ＞ β ?? ?b． α ＝ β

c． α + β ＝90° ? ??d． α + β ＝180°

3、如图，已知两座灯塔 a 和 b 与海洋观测站 c 的距离都等于 a km，灯塔 a 在观测站 c 的北偏东20°，灯塔 b 在观测站 c 的南偏东40°，则灯塔 a 与灯塔 b 的距离为(　　)．

a． a km ?? b．
km ?? c．
km ?? d．2 a km

4、在高20 m的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，则这座塔的高度为(　　)．

a．
m ?? b．
m

c．
m?? ??d．
m

5、在△ abc 中，若sin a ∶sin b ＝2∶5，则边 b ∶ a 等于(　　)．

a．2∶5或4∶25 ?? b．5∶2 ? c．25∶4 ? d．2∶5

6、在△ abc 中，sin 2 a －sin 2 c +sin 2 b ＝sin a ·sin b ，则∠ c 为(　　)．

a．60° ?? b．45° ?? c．120°?? d．30°

7、在△ abc 中，已知 a ＝4， b ＝6，∠ c ＝120°，则sin a 的值为(　　)．

a．
?? b．
?? c．
?? d．

8、△ abc 的三个内角∠ a ，∠ b ，∠ c 所对的边分别为 a ， b ， c ， a sin a sin b + b cos 2 a ＝
，则
＝(　　)．

a．
?? b．
?? c．
?? d．

9、根据下列条件，确定△ abc 有两解的是(　　)．

a． a ＝18， b ＝20，∠ a ＝120°

b． a ＝60， c ＝48，∠ b ＝60°

c． a ＝3， b ＝6，∠ a ＝30°

d． a ＝14， b ＝16，∠ a ＝45°

10、在△ abc 中，∠ a ∶∠ b ∶∠ c ＝1∶2∶3，那么三边之比 a ∶ b ∶ c 等于(　　)．

a．1∶2∶3 ? ?b．3∶2∶1

c．1∶
∶2 ?? ?d．2∶
∶1

11、在△ abc 中， a ＝2，∠ a ＝30°，∠ c ＝45°，则 s △ abc ＝(　　)．

a．
?? b．
? c．
? d．

12、在△ abc 中，∠ a ，∠ b ，∠ c 的对边分别是 a ， b ， c ． 若 a 2 － b 2 ＝
，sin c ＝
sin b ，则∠ a ＝(　　)．

a．30° ?? b．60° ?? c．120° ?? d．150°

第II卷（非选择题）

试卷第二部分共有 10 道试题。

二、填空题( 共 4 题 ,共 12 分)

1、如图为曲柄连杆结构示意图，当曲柄 OA 在 OB 位置时，连杆端点 P 在 Q 的位置，当 OA 自 OB 按顺时针旋转 α 角时， P 和 Q 之间的距离为 x ，已知 OA ＝25 cm， AP ＝125 cm，若 OA ⊥ AP ，则 x 等于__________(精确到0.1 cm)．

2、一船在海面 A 处望见两灯塔 P ， Q 在北偏西15°的一条直线上，该船沿东北方向航行4海里到达 B 处，望见灯塔 P 在正西方向，灯塔 Q 在西北方向，则两灯塔的距离为__________．

3、在△ ABC 中，
，
，
，则 b ＝________.

4、在平行四边形 ABCD 中，
，
，∠ BAC ＝45°，则 AD ＝________.

三、解答题( 共 6 题 ,共 51 分)

1、如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 A ， B ， C 三点进行测量．已知 AB ＝50 m， BC ＝120 m，于 A 处测得水深 AD ＝80 m，于 B 处测得水深 BE ＝200 m，于 C 处测得水深 CF ＝110 m，求∠ DEF 的余弦值．

2、如图， A ， B 两个小岛相距21海里， B 岛在 A 岛的正南方，现在甲船从 A 岛出发，以9海里/时的速度向 B 岛行驶，而乙船同时以6海里/时的速度离开 B 岛向南偏东60°方向行驶，行驶多少时间后，两船相距最近？并求出两船的最近距离．

3、为了测定不能到达底部的铁塔的高 PO ，可以有哪些方法？

4、在△ ABC 中， a ＝8， b ＝7，∠ B ＝60°，求 c 及 S △ ABC ．

5、在△ ABC 中，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 a 2 － c 2 ＝2 b ，且sin B ＝4cos A sin C ，求 B ．

6、在△ ABC 中，已知( a 2 + b 2 )sin(∠ A －∠ B )＝( a 2 － b 2 )sin(∠ A +∠ B )，试判断△ ABC 的形状．

∴ CE ＝ AE tan 60°＝
m，

∴ CD ＝ CE + ED ＝
m.

5、B

6、A

7、A

解析： 由余弦定理可求得
，再由正弦定理得
.

8、D

9、D

解析：
，又 b ＞ a ，

∴∠ B 有两解．故△ ABC 有两解．

10、C

解析： 易知∠ A ＝
，∠ B ＝
，∠ C ＝
，

∴ a ∶ b ∶ c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶
∶2.

11、C

解析： 由
得
，∠ B ＝105°，

S △ ABC ＝
ac sin B ＝
.

12、A

解析： 利用正弦定理，sin C ＝
sin B 可化为
．

又∵
，

∴
，

即 a 2 ＝7 b 2 ，
．

在△ ABC 中，
，∴∠ A ＝30°.

二、填空题

1、22.5 cm

解析： x ＝ PQ ＝ OA + AP －OP ＝25+125－
≈22.5(cm)．

2、
海里

解析： 如图，

在△ ABP 中， AB ＝4，∠ BAP ＝60°，∠ ABP ＝45°，

∴∠ APB ＝75°.由正弦定理得
．

又在△ ABQ 中，∠ ABQ ＝45°+45°＝90°，∠ PAB ＝60°，∴ AQ ＝2 AB ＝8，于是 PQ ＝ AQ － AP ＝
，

∴两灯塔间距离为
海里．

3、

解析： ∵
，∴
， S △ ABC ＝
ab sin C ＝
，即
，∴
.

4、

解析： BC 2 ＝ AB 2 + AC 2 －2 AB · AC ·cos∠ BAC ＝48，

∴
，∴
.

三、解答题

1、 解： 如图，作 DM ∥ AC 交 BE 于 N ，交 CF 于 M .

(m)，

(m)，

(m)．

在△ DEF 中，由余弦定理的变形形式，得

cos∠ DEF ＝

.

①当9 t ＜21，即
时， C 在线段 AB 上，

此时 BC ＝21－9 t .

在△ BCD 中， BC ＝21－9 t ， BD ＝6 t ，

∠ CBD ＝180°－60°＝120°，由余弦定理知 CD 2 ＝ BC 2 + BD 2 －2 BC · BD ·cos 120°＝(21－9 t ) 2 +(6 t ) 2 －2×(21－9 t )·6 t ·
＝63 t 2 －252 t +441＝63( t －2) 2 +189.

∴当 t ＝2时， CD 取得最小值
.

②当
时， C 与 B 重合，

则
.

③当
时， BC ＝9 t －21，

则CD 2 ＝(9 t －21) 2 +(6 t ) 2 －2·(9 t －21)·6 t ·cos 60°＝63 t 2 －252 t +441＝63( t －2) 2 +189＞189.

综上可知，当 t ＝2时， CD 取最小值
.

答：行驶2 h后，甲、乙两船相距最近为
海里．

3、 解： 方法一：在地面上引一条基线 AB ，这条基线和塔底在同一水平面上，且延长后不过塔底，测出 AB 的长，用经纬仪测出角 β ， γ 和 A 对塔顶 P 的仰角 α 的大小，则可求出铁塔 PO 的高．计算方法如下：

如图所示，在△ ABO 中，由正弦定理得

，

在Rt△ PAO 中， PO ＝ AO ·tan α ，

∴
.

方法二：在地面上引一条基线 AB ，这一基线与塔底在同一水平面上，且 AB 延长后不过点 O .测出 AB 的长、张角∠ AOB (设为 θ )及 A ， B 对塔顶 P 的仰角 α ， β ，则可求出铁塔 PO 的高，计算方法如下：

如图所示，在Rt△ POA 中， AO ＝ PO ·cot α ，

在Rt△ POB 中， BO ＝ PO ·cot β ，

在△ AOB 中，由余弦定理得 OA 2 + OB 2 －2 OA · OB ·cos θ ＝ AB 2 ，

∴
.

方法三：在地面上引一条基线 AB ，这一基线与塔底在同一水平面上，并使 A ， B ， O 三点在一条直线上，测出 AB 的长和 A ， B 对塔顶 P 的仰角 α ， β ，则可求出铁塔 PO 的高．计算方法如下：

如图所示，在△ PAB 中，由正弦定理得

，

在Rt△ PAO 中， PO ＝ PA ·sin α ，

∴
.

4、 解： 由余弦定理得8 2 + c 2 －2×8× c ×cos 60°＝7 2 ，即 c 2 －8 c +15＝0，∴ c ＝3或5.

当 c ＝3时，
；

当 c ＝5时，
.

5、 解： 由余弦定理得 a 2 － c 2 ＝ b 2 －2 bc cos A ，又 a 2 － c 2 ＝2 b ， b ≠0，∴ b ＝2 c ·cos A +2.由正弦定理得
，又由已知得
，∴ b ＝4 c ·cos A ，由
可得 b ＝4.

6、 解： 由已知有 a 2 sin(∠ A －∠ B )+ b 2 sin(∠ A －∠ B )＝ a 2 sin(∠ A +∠ B )－ b 2 sin(∠ A +∠ B )，即2 a 2 cos A sin B －2 b 2 cos B sin A ＝0，

∴ a 2 cos A sin B － b 2 sin A cos B ＝0.

由正弦定理，上式可化为sin 2 A cos A sin B －sin 2 B sin A cos B ＝0，

即sin A sin B (sin A cos A －sin B cos B )＝0，

∵sin A ≠0，sin B ≠0，

∴sin A cos A －sin B cos B ＝0，即sin 2 A ＝sin 2 B ，

∴2∠ A ＝2∠ B 或2∠ A +2∠ B ＝π，

∴∠ A ＝∠ B 或∠ A +∠ B ＝
.

故△ ABC 为等腰三角形或直角三角形．