北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷（理科）

高二数学 2015.1

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 双曲线
的实轴长为（ ）



A.

B.

C.

D.



2. 抛物线
的准线方程为（ ）



A.

B.

C.

D.



3. 已知
表示两条不同直线，
表示平面，下列说法正确的是（ ）



A. 若
则

B. 若
，
，则



C. 若
，
，则

D. 若
，
，则



4. 命题“
，如果
，则
”的否命题为（ ）



A.
，如果
，则



B.
，如果
，则



C.
，如果
，则



D.
，如果
，则





5. 已知椭圆长轴长是短轴长的
倍，则椭圆的离心率为（ ）



A.

B.

C.

D.





6. 已知直线
和直线
平行，则实数
的值为（ ）



A.

B.

C.
和

D.





7. “
”是“圆
与圆
相切”的（ ）



A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件



C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件





8. 如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处. 已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（ ）



A.10cm

B. 7.2cm

C. 3.6cm

D. 2.4cm





9. 右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（ ）

A.
与
成
角

B.
与
成
角

C.
与
成
角

D.
与
成
角





10. 如图，在边长为
的正方体
中，
分别为棱
,
的中点，
分别为面
和
上的点. 一质点从点
射向点
，遇正方体的面反射（反射服从光的反射原理），反射到点
，再经平面反射，恰好反射至点
. 则三条线段
的长度之和为（ ）



A.

B.

C.

D.







二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.

11. 命题“
”的否定是_______________.

12. 空间向量
，
，
，且
.

则

_______.

13. 右图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的

体积为_______.

14. 已知
为双曲线
的一个焦点，

则点
到双曲线
的一条渐近线的距离为_______.

15. 由直线
上一点向圆
引切线，则切线长的最小值为 .

16 .已知点
和点
，直线
，
的斜率乘积为常数
（
），设点
的轨迹为
.

给出以下几个命题：

①存在非零常数
，使
上所有点到两点
距离之和为定值；

②存在非零常数
，使
上所有点到两点
距离之和为定值；

③不存在非零常数
，使
上所有点到两点
距离差的绝对值为定值；

④不存在非零常数
，使
上所有点到两点
距离差的绝对值为定值.

其中正确的命题是________.（填出所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分13分）

如图，四边形
为矩形，AD⊥平面
，
，
为
上的点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：

．

18.（本小题满分13分）

已知三个点
，
，
，圆
为△
的外接圆.

（Ⅰ）求圆
的方程；

（Ⅱ）设直线
与圆
交于
两点，且
，求
的值.

19.（本小题满分14分）

在四棱锥
中，
平面
，底面四边形
为直角梯形，
，
，
，
，
为
中点.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值.

20.（本小题满分14分）

已知椭圆
，直线
过点
与椭圆
交于两点
，
为坐标原点.

（Ⅰ）设
为
的中点，当直线
的斜率为
时，求线段
的长；

（Ⅱ）当△
面积等于
时，求直线
的斜率.

21.（本小题满分13分）

在如图所示的几何体中，四边形
是矩形，
,四边形
是等腰梯形，
，
，且平面
平面
，
.

（Ⅰ）过
与
平行的平面与
交于点
. 求证：
为
的中点；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值.

22.（本小题满分13分）

如图，曲线
是由抛物线弧
:
(
)与椭圆弧
:
(
)所围成的封闭曲线，且
与
有相同的焦点.

（Ⅰ）求椭圆弧
的方程；

（Ⅱ）设过点
的直线与曲线
交于
两点，
,
，且
(
)，试用

表示
；并求
的取值范围.

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷

高二数学（理科）参考答案及评分标准 2015.1

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

1.A 2.D 3.C 4. D 5. A 6. B 7.A 8. C 9.C 10. A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

11.
12.
13.

14.
15.
16. ②④

注:16题，仅选出②或④得3分；错选得0分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.

17. （本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：因为四边形
为矩形，

所以
. ………………2分

又因为
平面
，

平面
，………………4分

所以
平面
. ………………5分

（Ⅱ）证明：因为
平面
，
，

所以
平面
，则
. ………………7分

又因为
，

所以
. ………………9分

所以
平面
. ………………11分

又
平面
,

所以
. ………………13分

18. （本小题满分13分）

（Ⅰ）设圆
的方程为
, ………………1分

因为点
，
，
在圆
上，则

………………4分

解得
，
，
. ………………6分

所以
外接圆的方程为
. ………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）圆
的圆心为
，半径为
.

又
，所以圆
的圆心到直线
的距离为
.………………9分

所以
， ………………11分

解得
.
. ………………13分

19. （本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为
平面
，所以

，

又
，如图，建立以
为原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴的空间直角坐标系. ………………2分

由已知，
，
，
.

所以，
，
，
，

,
………………4分

又
为
中点，所以
.

所以
，
，

所以
， ………………6分

所以