北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷

高二数学 2015.1（文科）

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 圆
的圆心为（ ）



A.

B.

C.

D.





2. 椭圆
的离心率为（ ）



A.

B.

C.

D.





3. 双曲线
的渐近线方程为（ ）



A.

B.

C.

D.





4. 已知
表示两条不同直线，
表示平面，下列说法正确的是（ ）



A. 若
则

B. 若
，
，则



C. 若
，
，则

D. 若
，
，则





5. 命题“
，如果
，则
”的否命题为（ ）



A.
，如果
，则



B.
，如果
，则



C.
，如果
，则



D.
，如果
，则





6. 圆
与圆
的位置关系是（ ）



A. 相离

B. 外切

C. 内切

D.相交





7. “四边形
为菱形”是“四边形
中
”的（ ）



A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件



C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件





8. 已知直线
和直线
平行，则实数
的值为（ ）



A.

B.

C.
和

D.





9. 如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处. 已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（ ）



A.10cm

B. 7.2cm

C. 3.6cm

D. 2.4cm





10. 如图，在边长为
的正方体
中，
为棱
的中点，
为面
上的点. 一质点从点
射向点
，遇正方体的面反射（反射服从光的反射原理），反射到点
. 则线段
与线段
的长度和为（ ）



A.

B.

C.

D.





二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.

11. 抛物线
的准线方程为_______________.

12. 命题“
”的否定是_____________________.

13. 右图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的

体积为_______.

14. 圆心在直线
上，且与
轴相切于点

的圆的方程为____________________.

15. 已知
为双曲线
的一个焦点，

则点
到双曲线
的一条渐近线的距离为__________.

16. “降水量”是指从天空降落到地面上的液态或固态（经融

化后）降水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的

深度.降水量以
为单位.

为了测量一次降雨的降水量，一个同学使用了如图所

示的简易装置：倒置的圆锥. 雨后，用倒置的圆锥接到的

雨水的数据如图所示，则这一场雨的降水量为
.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分13分）

如图，四边形
为矩形，
平面
，
，
为
上的点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：

．

18.（本小题满分13分）

已知△
三个顶点的坐标分别为
，
，
.

（Ⅰ）求△
中
边上的高线所在直线的方程；

（Ⅱ）求△
外接圆的方程.

19.（本小题满分14分）

如图，已知直三棱柱
中，
，
为
中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：平面

平面
.

20.（本小题满分13分）

如图，
是椭圆
的两个顶点，过点
的直线与椭圆
交于另一点
.

（Ⅰ）当
的斜率为
时，求线段
的长；

（Ⅱ）设
是
的中点，且以
为直径的圆恰过点
. 求直线
的斜率.

21.（本小题满分13分）

如图，四棱锥
中，底面
为矩形，平面
平面
，且
，
，
为
中点.

（Ⅰ）求三棱锥
的体积；

（Ⅱ）求证：
平面
；

（Ⅲ）设
是线段
上一点，且满足
，试在线段
上确定一点
，使得
平面
，并求出
的长.

22.（本小题满分14分）

已知
是抛物线
上的不同两点，弦
（不平行于
轴）的垂直平分线与
轴交于点
.

（Ⅰ）若直线
经过抛物线
的焦点，求
两点的纵坐标之积；

（Ⅱ）若点
的坐标为
，弦
的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由.

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷

高二数学（文科）参考答案及评分标准 2015.1

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

1.B 2.B 3.D 4. C 5. D 6.D 7.A 8. A 9.C 10. C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

11.
12.
13.

14.
15.
16.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.

17. （本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：因为四边形
为矩形，

所以
. ………………2分

又因为
平面
，

平面
， ………………4分

所以
平面
. ………………5分

（Ⅱ）证明：因为
平面
，
，

所以
平面
，则
. ………………7分

又因为
，

所以
. ………………9分

所以
平面
. ………………11分

又
平面
， ………………12分

所以
. ………………13分

18. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为
，
，所以直线
的斜率为
， ………………2分

又
边上的高所在的直线经过点
，且与
垂直，

所以所求直线斜率为
， ………………4分

所求方程为
，

即
. ………………5分

（Ⅱ）设△
外接圆的方程为
, ………………6分

因为点
，
，
在圆
上，则

………………9分

解得
，
，
. ………………12分

所以△
外接圆的方程为
. ………………13分

19. （本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：连结
，与
交于点
，连结
. ………………1分

因为三棱柱
是直三棱柱，

所以四边形
是矩形，

点
是
中点. ………………3分

又
为
中点，所以
. …………5分

因为
平面
，

平面
，

所以
平面
. ………………7分

（Ⅱ）证明：因为
，
为
中点，

所以
. ………………9分

又因为三棱柱
是直三棱柱，

所以
底面
，从而
. ………………11分

所以

平面
. ………………12分

因为
平面
， ………………13分

所以平面

平面
. ………………14分

20. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由已知
，

直线
的方程为
. ………………1分

由
得
， ………………2分

解得
或
（舍）， ………………3分

所以点
的坐标为
， ………………4分

所以
. ………………5分

（Ⅱ）依题意，设直线
的方程为
，
.

由
得
，