雅安中学2014-2015学年高二上学期期末模拟

数学试题

第Ⅰ卷（60分）

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

到两定点
和
的距离之和为4的点M的轨迹是：（ ）

A、椭圆 B、线段 C 、圆 D、以上都不对

2.抛物线
上一点
的纵坐标为4，则点
与抛物线焦点的距离为( )

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

3．一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P,直线PF1（
为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

4、方程
与
在同一坐标系中的大致图象是（ ）

A、 B、 C、 D、

5．方程
表示的曲线是（ ）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

6．抛物线
上有一点P，P到椭圆
的左顶点的距离的最小值为（ ）

A．
B．2+
C．
D．

7．已知椭圆
( a > b > 0) 的离心率为
，准线为
、
；双曲线
离心率为
，准线为
、
；；若
、
、
、
正好围成一个正方形，则
等于（ ）

A.
B .
C.
D.

8．若抛物线
与圆
有且只有三个公共点，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．设椭圆
的离心率为
，右焦点为
，方程
的两个实根分别为
和
，则点
（　　）

Ａ．必在圆
上 Ｂ．必在圆
外

Ｃ．必在圆
内 Ｄ．以上三种情形都有可能

10.已知双曲线
的右焦点为F，若过点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．
11.已知双曲线的顶点为
与(2,5),它的一条渐近线与直线
平行,则双曲

线的准线方程是

A,
B,
C,
D,

12．直线
与曲线
的交点个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

雅安中学2014—2015学年（上期）高二年级期末模拟

数 学 答 题 卷

（考试时间120分钟，满分150分）

(第Ⅰ卷答案填涂在机读卡上；第Ⅱ卷答案写答题卷上。完卷交机读卡和第Ⅱ卷)

第Ⅱ卷（90分）

题号

二

三

总分

总分人







17

18

19

20

21

22







得分





















二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上

13．在平面直角坐标系
中，已知
顶点A ( -3 , 0 )和C ( 3 , 0 )顶点
在椭圆
上，则
　　　　.

14. 设椭圆
和双曲线
的公共焦点为
,
,P是两曲线的一个交点，
的值是 。

15．以下四个关于圆锥曲线的命题中：

①设A、B为两个定点，k为非零常数，
，则动点P的轨迹为双曲线；

②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若
则动点P的轨迹为椭圆；

③方程
的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④双曲线
有相同的焦点.

其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）

16．已知点A在圆C：
上运动，点B在以
为右焦点的椭圆
上运动，|AB|的最大值是 。

三、解答题：本大题6小题；共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17（本大题满分12分）求下列曲线的的标准方程:

（1）离心率
且椭圆经过

（2）渐近线方程是
，经过点
。

18. （本大题满分12分）如图，在直角坐标系xOy中，过点P（2，0）的直线l交抛物线
于M（x1，y1），N（x2，y2）两点。

（1）求x1x2与y1y2的值；

（2）以线段MN为直径作圆H（H为圆心），证明抛物线的顶点在圆H的圆周上。

19. （本大题满分12分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验，设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为
＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M(0,
)为顶点的抛物线的实线部分,降落点为D(8,0).观测点A(4,0)、B(6,0)同时跟踪航天器．

(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；

(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

20．（本大题满分12分）如图，
、
为椭圆
的左右焦点，P为椭圆上一点，且位于
轴上方，过点P作x轴的平行线交椭圆右准线于点M，连接
，

（1）若存在点P，使
为平行四边形，求椭圆的离心率e的取值范围；

（2）若存在点P，使
为菱形；

①求椭圆的离心率；

②设
、
，

求证：以
为直径的圆经过点B．

21．（本大题满分12分）已知抛物线
的焦点为
，
是抛物线上横坐标为
，且位轴上方的点，
到抛物线准线的距离等于
，过
作
垂直于
轴，垂足为
，
的中点为
。

（1）求抛物线方程；

（2）过
作
，垂足为
，求点
的坐标；

（3）以
为圆心，
为半径作圆
，当
是
轴 上一动点时，讨论直线
与圆
的位置关系.

22.（本大题满分14分）以
为原点，
所在直线为
轴，建立直角坐标系．设
，点F的坐标为
．点G的坐标为
．

(1)求
关于t的函数
的表达式，并判断函数
的单调性．

(2)设△
的面积
，若以
为中心，
为焦点的椭圆经过点G，求当
取最小值时椭圆的方程．

(3)在(2)的条件下，若点
的坐标为
，C，D是椭圆上的两点，
， 求实数
的取值范围．

雅安中学2014—2015学年（上期）高二年级期末模拟

数 学 答 案

一、选择题：1—5 BDCAD 6—10 AADCD 11—12 AC

二、填空题： 13. 5∕3 14.
15. ③④

16.

三．解答题：

17求下列曲线的的标准方程:

离心率
且椭圆经过

解:由
可得b=
a,因此设椭圆方程为(1)
,

将点
的坐标代入可得(1)b2=16,(2)b2=19,所求方程是:

.

渐近线方程是
，经过点
。

解:设所求双曲线方程是
,将
代入可得
,所以,所求双曲线方程是:
.

18.（I）证明：

因为直线L不可能是x轴，所以设L的方程为
，将其代入

消去x可得：

点M，N的纵坐标
与
是上述方程的两个根，故

由
，相乘得

所以

（II）解：设直线OM，ON的斜率分别为k1，k2

则

因此

所以OM⊥ON

∴点O在圆H的圆周上

19.[解](1)设曲线方程为y=ax2+
,

由题意可知,0=a?64+
, ∴a=-

∴曲线方程为y=-
x2+
.

(2)设变轨点为C(x, y),根据题意可知

＝1 (1)

y=-
x2+
(2) 得4y2-7y-36=0,

y=4或y=-
(不合题意,舍去) ∴y=4

得x=6 或x=-6(不合题意,舍去).

∴C点的坐标为(6,4),

,

答: 当观测点A、B测得AC、BC距离分别为2
、4时，应向航天器发出变轨指令

20.（1）设
，则
，∵
，

∴
，

由
；

（2）①
，

，∵
，∴
；

②以
为直径的圆方程为
，

下证
满足方程，即
…（＊），

∵
，∴
，∴
，∴（＊）成立，

∴以
为直径的圆经过点B．

21[解] (1) 抛物线y2=2px的准线为x=-
,于是4+
=5, ∴p=2.

∴抛物线方程为y2=4x.

(2)∵点A是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2),

又∵F(1,0), ∴kFA=
;MN⊥FA, ∴kMN=-
,

则FA的方程为y=
(x-1),MN的方程为y-2=-
x,解方程组得x=
,y=
,

∴N的坐标(
,
).

（3由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,

当m=4时, 直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离.

当m≠4时, 直线AK的方程为y=
(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0,

圆心M(0,2)到直线AK的距离d=
,令d>2,解得m>1

∴当m>1时, AK与圆M相离;

当m=1时, AK与圆M相切;

当m<1时, AK与圆M相交.

22．（1）由题意得：
，则：
，解得：
所以
在
上单调递增。

（2）由
得