海淀区高二年级第一学期期末练习

数学（理科） 2015.1

本试卷共100分.考试时间90分钟.

一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 直线
的倾斜角是（）

A.
B.
C.
D.

2. 焦点在
轴上的椭圆
的离心率是
，则实数
的值是（）

　A.
B.
C.
D.

3. 一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为（）

A.
B.
C.
D.

4. 已知圆
，直线
，则直线
被圆
所截的弦长为（）

A.
B.
C.
D.2

5. 已知向量

，则其中共面的三个向量是（）

A.
B.
C.
D.

6. 已知等差数列
，则“
”是“数列
为单调递增数列”的（）

A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

7. 已知正四面体
的棱长为
，点
是
的中点，则下面四个命题中正确的是（）

A.
，
B.
，

C.
，
D.
，

8. 已知曲线
，则曲线
上的点到原点距离的取值范围是（）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.

9. 已知直线
与直线
平行，则实数

10.双曲线
的渐近线方程为_________________.

11.已知空间向量
，若
的夹角为
，则实数
的值为__.

12.已知椭圆
的左右焦点分别为
，若等边
的一个顶

点
在椭圆
上，则椭圆
的离心率为______.

13. 已知点
，抛物线
的焦点为
，点
在抛物线上，且
，

则

14. 在正方体
中，
为其六个面中的一个. 点
且
不在棱上，若
到异面直线
的距离相等，则点
的轨迹可能是_________.（填上所有正确的序号）

①圆的一部分②椭圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分

三、解答题:本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.（本小题共10分）

已知点
，圆
.

( I ) 求经过点
与圆
相切的直线方程；

( II ) 若点
是圆
上的动点，求
的取值范围.

16. （本小题共12分）

已知抛物线
的焦点为
，直线
与抛物线
相交于
两点.

( I ) 将
表示为
的函数；

( II )若
，求
的周长.

17.（本小题共12分）

在空间直角坐标系
中，已知
.

( I ) 求证：直线
平面
；

( II ) 求直线
和平面
所成的角；

(Ⅲ) 在直线
上是否存在点
，使得直线
与直线
垂直？若存在，求出点
的坐

标；若不存在，请说明理由.

18.（本小题共10分）

如图，已知直线
与椭圆
交于
两点.过点
的直线
与
垂直，且与椭圆
的另一个交点为
.

( I ) 求直线
与
的斜率之积；

( II ) 若直线
与
轴交于点
，求证：
与
轴垂直.

海淀区高二年级第一学期期末练习

数学（理科）

参考答案及评分标准

2015.1

一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

A

B

C

B

C

A

A



二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.

9.
或
10.
或
11.
或

12.
13.
14. ④

说明：9，10，11题每个答案两分，丢掉一个减两分，14题多写的不给分

三.解答题:本大题共4小题,共44分.

15. （本小题满分10分）

解:（I）由题意，所求直线的斜率存在.

设切线方程为
,即
，-------------1分

所以圆心
到直线的距离为
，-------------3分

所以
，解得
, -------------4分

所求直线方程为
或
. -------------5分

（II）设点
，

所以
，
，-------------6分

所以
.-------------7分

因为点
在圆上，所以
，所以
. -------------8分

又因为
，所以
, -------------9分

所以
. -------------10分

16．（本小题满分12分）

解:（I）设点

因为
, 消元化简得
-------------2分

所以
-------------4分

所以
，其中
. -------------6分

（II）因为
，

所以
，解得

经检验，此时
. -------------8分

所以
，

所以有
. -------------10分

又
,

所以
的周长为
. -------------12分

17.（本小题满分12分）

解: （I）法一：取点

则
,所以
,所以
-------------1分

又
,所以
,所以
-------------2分

又

所以平面
-------------3分

所以
平面
-------------4分

法二:

由题意，点
所在的平面就是
平面，

取其法向量为
，-------------1分

而
,所以
，即
，-------------3分

又显然点
不在平面
上，

所以
平面
. -------------4分

（II）设平面
的法向量为
,

因为
,

所以
, 所以可取
. -------------6分

又

设
与平面
所成的角为
.

所以
. -------------8分

所以直线
和平面
所成的角为
. -------------9分

(Ⅲ)假设存在点
，使得直线
与直线
垂直.

设
, 即
. -------------10分

所以
,

所以
.

又
,

所以
，-------------11分

解得
，所以在直线
上存在点
，使得直线
与直线
垂直，

点
的坐标为
. -------------12分

18．（本小题满分10分）

解:（I）法一：设点
，

因为
, 所以

所以
，所以
的横坐标互为相反数，

所以可设
. -------------1分

因为直线
的斜率为
，且
，

而
，
, -------------2分

所以

因为点
都在椭圆上，所以
-------------3分

所以

-------------5分

法二：设点
，

因为
, 所以

所以
，所以
的横坐标互为相反数，

所以可设
. -------------1分

因为直线
的斜率为
，且
,所以直线
的斜率存在,

设直线
的方程为
.

所以
，消元得到
. -------------2分

所以
-------------3分

又
. -------------4分

所以
,

所以
. -------------5分

（II）因为
，而直线
垂直，

所以
，所以
， -------------6分

所以直线