一、选择题（每题5分，共50分）

1、右图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体 中既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞的是（ ）

2、设a，b，c是空间三条直线，，
是空间两个平面，则下列命题不成立的是（ ）

当
时，若⊥
，则∥

当
，且是a在内的射影时，若b⊥c，则a⊥b

　　C．当
时，若b⊥
，则

D．当
，且
时，若c∥，则b∥c

3、如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )．

A．BD∥平面CB1D1

B．AC1⊥BD

C．AC1⊥平面CB1D1

D．异面直线AD与CB1角为60°

4、已知△ABC的斜二侧直观图是边长为2的等边△A1B1C1，那么原

△ABC的面积为(　 　)

A．2 B. C．2 D.

5、棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，四面体AB1CD1的体积为（ ）

A．
B．

C．
D．

6、下列命题中正确的是 （ ）

A．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为一条直线及此直线外的一个点，则这两条直线互为异面直线

B．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线相交

C．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线平行

D．若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条互相垂直的直线，则这两条直线垂直

7、在空间四边形
中，
分别是
的中点。若
，若四边形
的面积为
，则异面直线
与
所成的角为（ ）

、
、
；
、
； 、
或
。

8、若直角三角形的斜边与平面平行，两条直角边所在直线与平面所成的角分别为
，则（ ）

A．
B．

C．
D．

9、 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱, 这个四棱锥的底面为正方形, 且底面边长与各侧棱长相等, 这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等. 设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为
、
、
, 则
( )

A.
B.
C.
D.

10、如图，在
；类似地有命题：在三棱锥A—BCD中，
面ABC，若A点在BCD内的射影为M，则有
。上述命题是（ ）

A．真命题

B．增加条件“
”才是真命题

C．增加条件“
的垂心”才是真命题

D．增加条件“三棱锥A—BCD是正三棱锥”才是真命题

二、填空题（每题5分，共25分）

11、已知A(3,5，－7)和点B(－2,4,3)，点A在x轴上的射影为A′，点B在z轴上的射影为B′，则线段A′B′的长为____ ___．

12、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 。

（12题图） （13题图） （14题图）

13、如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a的值等于　　　　　。

14、已知正方体的棱长ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，G是面BB1C1C的中心，M为面ABCD上一点，则
的最小值为 。

15、已知三棱柱
的侧棱与底面边长都相等，有以下命题

①若
在底面
内的投影为
的中心，则
;

②若
在底面
内的投影为
的中心，则
与面
所成角的正弦值为
;

③若
在底面
内的投影为线段BC的中点，则二面角
的正切值为

④若
在底面
内的投影为线段BC的中点，则
与面
所成角的正弦值为

三、解答题（共75分）

16、(12分)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是正方形AA1D1D和A1B1C1D1的中心。

（1）证明：PQ∥平面DD1C1C； （2）求PQ与平面AA1D1D所成的角

17、（ 12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

（1）证明：
⊥平面
；（2）求二面角
的正切值的大小。

18、（12分）在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．

(1)求证：BC⊥AD；

(2)若二面角A－BC－D为
，求异面直线AB与CD所成角的余弦值；

(3)设二面角A－BC－D的大小为 ?，猜想 ??为何值时，四面体A－BCD的体积最大．(不要

求证明)

19、（12分）如图，在直三棱柱
中，
，
，点
分别为
和
的中点。

（Ⅰ）证明：
∥平面
; （Ⅱ）求三棱锥
的体积。

20、（ 13分）如图，在四棱柱ABC—A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形， ∠DAB=60°，AA1=4，AB=2，点E在棱CC1上，点E是棱C1C上一点。

（1）求证：无论E在任何位置，都有A1E⊥BD

（2）试确定点E的位置，使得A1—BD—E为直二面角，并说明理由。

（3）试确定点E的位置，使得四面体A1—BDE体积最大。并求出体积的最大值。

21、（14分）在直角梯形ABCD中，AD((BC，
,
（如图1）．把
沿
翻折，使得二面角
的平面角为
（如图2）

（1）若
，求证：
；

（2）是否存在适当
的值，使得
，若存在，求出
的值，若不存在说明理由；

（3）取BD中点M，BC中点N，P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得
。令PQ与BD和AN所成的角分别为
和
。求证：对任意
，总存在实数
，使得
均存在一个不变的最大值。并求出此最大值和取得最大值时
与
的关系。

三、解答题

16、解、1）证明：连接A1C1，DC1，则Q为A1C1的中点

　　　　　　　∴　PQ∥DC1且PQ＝
DC1

　　　　　　　∴　PQ∥平面DD1C1C…………………………………………6分

　　　2）∵　PQ∥DC1　∴　PQ、DC1与平面AA1D1D所成的角相等

　　　　　　 ∵　DC1与平面AA1D1D所成的角为45°

　　　　　 　∴　PQ与平面AA1D1D所成的角为45°…………………………12分

17、解：解：（1）据题意易得角
⊥平面

…………………………6分

（2）
，
为所求二面角的平面角。

在
中，易得
…………………………6分

18、证明：(1)取BC中点O，连结AO，DO．∵△ABC，△BCD都是边长为4的正三角形，……4分

∴AO⊥BC，DO⊥BC，且AO∩DO＝O，∴BC⊥平面AOD．又AD平面AOD， ∴BC⊥AD．

（2）取AC中点M，AD中点N，则
，
为所求角（或其补交）

另一方面，由（1）知道BC⊥平面AOD，从而二面角A－BC－D的平面角为
。

为正三角形，

从而在
中，

所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为
；……………………10分

(3)当 ?＝90°时，四面体ABCD的体积最大．……………………2分

19、解：（Ⅰ）解法1，连接

…………………5分

解法2，

P为
的中点，连接PN和PM，由中位线定理知
,

即

（Ⅱ）法一：

平面

法二：连接
，

为
的中点，
平面

……………………12分

20、解：（1）因为AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，

所以
……………………4分

（2）由（1）得
，所以二面角A1—BD—E的平面角为
.

令
，则易得

又因为
……………………8分

（3）因为

另一方面，因为
，所以
，

过E作
的垂线与H，则必有
，从而

所以当EH最大时，四面体A1—BDE体积最大。

所以当E点和
重合时体积最大。此时
，………………11分

从而
……………………13分

21、解：（1）
.………3分

（2）不存在

（矛盾）……………………6分

（3）在BN线段去点R使得

从而易得
，

另一方面，易证
，从而
。

从而有

……………………11分

当且仅当
，即
时取得最大值。

此时有
，又