命题人：周进 审题人：陈玉莲

本试卷分为选择题和非选择题两部分，由笫一部分(选择题)和第二部分（非选择题）组成，共4页，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.

3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.

4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.

5. 考试结束后，只将答题卷交回.

第一部分(选择题)

一、本部分共10题，每小题5分，共计50分.（每小题的四个选项只有一项是最符合题目要求的.）

1. 直线x ( y + 2 = 0 的倾斜角为(　　)

A．30° B．60° C．150° D．120°

2. 如果A·C＜0，且B·C＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)

A．第一象限　　　　　B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为(　　)

A .  B.  C．4 D．8

4．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(　　)

5．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是(　　)

A．若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α

B．若m?α，n⊥α，l⊥n，则l∥m

C．若l⊥m，l⊥n，则n∥m

D．若m⊥α，n⊥α，则n∥m

6．直线kx－y＋1＝3k，当k变动时，所有直线恒过定点(　　)

A．(0, 0) B．(0, 1) C．(3, 1) D．(2, 1)

7．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为(　　)

A. 　　　　　　　B.  C.  D. 

8．在球面上有四点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a,则这个球的表面积是( )

A．3(a2　　　　 　B．4(a2 C． 5(a2 D．6(a2 9. 过点P(1, 3)且在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线方程为（ ）

A. x+y(4=0 B. 3x(y=0

C. x+y(4=0或3x+y=0 D. x+y(4=0或3x(y=0

10． 已知数列{an}的通项公式为an ＝  (n∈N*)，其前n项和Sn＝ ，则直线

 + ＝1与坐标轴所围成三角形的面积为(　　)

A．36 B．45 C．50 D．55

第二部分(非选择题)

二、填空题(本题共5小题，每小题5分，共25分.)

11. 直线ax＋2y ( 1＝0与直线2x ( 3y (1＝0垂直，则a的值为________.

12．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为______.

13. 已知点A(2，(3)，B((3，(2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为________．

14. 如图，120°的二面角的棱上有A，B两点，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB＝4 cm，AC＝6 cm，BD＝8 cm，则CD的长为________．

15. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在面对角线AC上运动，给出下列命题：

①D1P∥平面A1BC1

②D1P⊥BD

③平面PDB1⊥平面A1BC1

④三棱锥A1-BPC1的体积不变.

则其中所以正确的命题的序号是_________________

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．(本小题满分12分)已知△ABC的三个顶点A(4，(6)，B((4, 0)，C((1, 4)，求

(1) AC边上的高BD所在直线方程；

(2) BC边的垂直平分线EF所在直线方程.

17.(本小题满分12分)如图所示，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD＝DC ，E是PC的中点.

(1)证明：PA∥平面BDE；

(2)求二面角B-DE-C的余弦值.

18．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．

求证：(1) B1D⊥平面ABD；

(2)平面EGF∥平面ABD.

19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中， 侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D为棱AB的中点．

(1)证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；

(2)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．

20．(本小题满分13分)已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．

21．(本小题满分14分) 如图1，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B(如图2)．

(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；

(2)求二面角E-DF-C的余弦值；

(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．

2014～2015（上）邛崃市高2013级半期考试

数学(理)试题 答案

一、本部分共10题，每小题5分，共计50分。（每小题的四个选项只有一项是最符合题目要求的。）

二、填空题(本题共5小题，每小题5分，共25分.)

11. 3 12. a2 13. ((∞，(4]∪[，＋∞) 14.2cm 15. ①③④

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. (1)证明：连AC交BD于O,连OE，

易证 OE∥PA

又OE?平面BDE , PA(平面BDE

所以PA∥平面BDE

(2)解：以D为坐标原点，DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，令PD＝DC＝1 ，则面DEC法向量是
＝(1, 0, 0)

设平面DBE的法向量为
＝(x，y，z)，

则由
⊥
，
⊥
得
＝(1，-1，1)

cos〈
，
〉＝ ＝ ，

由题意易知二面角B-DE-C的平面角为锐角，

所以二面角B-DE-C的余弦值为.

18． 证明：(1)以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BA＝a则A(a,0,0)，

所以
＝(a,0,0)，
＝(0,2,2)，
＝(0,2，－2)，

·
＝0，
·
＝0＋4－4＝0，

即B1D⊥BA，B1D⊥BD.

又BA∩BD＝B，

因此B1D⊥平面ABD.

19．解： (1)证明：由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，

又侧棱A1A⊥底面ABC，CD?平面ABC，所以AA1⊥CD，又AA1∩AB＝A，

因此CD⊥平面A1ABB1，而CD?平面A1CD，

所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.

(2)在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D交直线A1D于点G，连接CG.

由于平面A1CD⊥平面A1ABB1，而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线，

故BG⊥平面A1CD.由此得∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角．

设棱长为a，可得A1D＝，则△A1AD∽△BGD，易得BG＝，

在Rt△BGC中，sin∠BCG＝＝.

所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.

20．解析：由题意设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，∴＋＝1.

由基本不等式知＋≥2，

即ab≥24(当且仅当＝，即a＝6，b＝4时等号成立)．

又S＝a·b≥×24＝12，

此时直线方程为＋＝1，即2x＋3y－12＝0.

∴△ABO面积的最小值为12，此时直线方程为2x＋3y－12＝0

21. [解]　

(1)在△ABC中，由E，F分别是AC，BC中点，得EF∥AB.

又AB(平面DEF，EF?平面DEF，

∴AB∥平面DEF.

(2)以点D为坐标原点，以直线DB，DC，DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2，0)，E(0，，1)，F(1，，0)，

＝(1，，0)，
＝(0，，1)，
＝(0,0,2)．

平面CDF的法向量为
＝(0,0,2)．设平面EDF的法向量为
＝(x，y，z)，

则即取n＝(3，－，3)，

cos〈
，n〉＝＝，

所以二面角E-DF-C的余弦值为.