第I卷 选择题 （共60分）

选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1、已知集合
（ ）

A．
B．
C．
D．

2、已知向量
=(3,4),
=(2,-1),如果向量
与
垂直，则x的值为（ ）

A.
B.
C.
D.2

3、已知
，则
、
、
的大小关系是（ ）

A．
B．
C．
D．

4、已知
是等差数列，
，则
等于（ ）

A．26 B．30 C．32 D．36

5、在同一坐标系中，将曲线
变为曲线
的伸缩变换是（ ）

A.
B.
C.
D.

6、下列函数中，图像的一部分如右上图所示的是（ ）

A．
B．

C．
D．

7.给出如下四个命题：

①
；②
；③
；

④
．其中正确命题的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

8、如图：样本A和B分别取自两个不同的总体，他们的样本平均数分别为
和
，样本标准差分别为
和
，则（ ）

A.

B.

C.

D.

9、右面的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是（ ）

A.
B.
C.
D.

10、一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如右图所示，则该几何体的表面积和体积分别为（ ）

A．
B．
和

C．
　　　 D．

11、若直线
与曲线
有两个交点，则k的取值范围是（ ）．

A．[1,+∞) B． [-1,-
) C． (
,1] D．(-∞,-1]

12、定义在R上的函数f(x)满足f(x)=
，则f（2012）的值为（ ）

A．0 B．1 C．-1 D．2

第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）

二、填空题 （本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13、已知
则
的最小值是

14、(改编)在区间
上随机取一个数，
的值介于0到
之间的概率为__________

15、如右图，圆锥
中，
、
为底面圆的两条直径，
，且
，
，为
的中点.异面直线
与
所成角的正切值为 .

16、已知平行四边形ABCD的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在四边形ABCD的内部（包括边界），则z=2x-5y的取值范围是___________.

三、解答题（共6个小题，第17题10分，其余12分,共70分）

17、（本题满分10分）设
的内角A、B、C所对的边长分别为
，且
，
。

（1）当
时，求的值.

（2）当
的面积为3时，求
的值.

18、（本题满分12分）为了让学生等多的了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，统计结果见下表。请你根据频率分布表解答下列问题：

（1）填充频率分布表中的空格。

（2）为鼓励学生更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于85分的同学能获奖，请估计在参加的800名学生中大概有多少名学生获奖？

（3）在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求输出的S的值.

19、在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点
、
的距离之和等于4，设点 P 的轨迹为 C ，直线 y ＝ kx +1与 C 交于 A 、 B 两点．

（1）写出 C 的方程；

（2）若
，求 k 的值；

（3）若点 A 在第一象限，证明当 k ＞0时，恒有
.

20、如图2-3所示，已知点A(2,8)，B(x 1 ,y 1 ),C(x 2,y 2 )在抛物线y 2 =2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合.

? 图2-3

(1)写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；

(2)求线段BC中点M的坐标；

(3)求BC所在直线的方程.

21、（本题满分12分）已知数列
为等差数列，
，
，数列
的前项和为
，且有

（1）求
、
的通项公式；

（2）若
，
的前项和为
，求
.

22、（本题满分12分）对于函数
，若存在
，使得
成立，称
为不动点，已知函数

当
时，求函数
不动点；

若对任意的实数
，函数
恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

在（2）的条件下，若
图象上A，B两点的横坐标是函数
不动点，且
两点关于直线
对称，求b的最小值.

参考答案

17、

18、

19、（1） 解： 设 P ( x ， y )，由椭圆的定义可知，点 P 的轨迹 C 是以
、
为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴
，

故曲线 C 的方程为
.

（2） 解： 设 A ( x 1 ， y 1 )， B ( x 2 ， y 2 )，其坐标满足

消去 y 并整理得( k 2 +4) x 2 +2 kx －3＝0，

故
，

若
，则 x 1 x 2 + y 1 y 2 ＝0.

而 y 1 y 2 ＝ k 2 x 1 x 2 + k ( x 1 + x 2 )+1，

于是
，

化简得－4 k 2 +1＝0，所以
.

20. 解 : (1)由点A(2，8)在抛物线y 2 =2px上，有

8 2 =2p·2,解得p=16.

所以抛物线方程为y 2 =32x，焦点F的坐标为(8，0)；

(2)如图，由F(8，0)是△ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且
=2，设点M的坐标为(x 0 ,y 0 )，则
=8，
=0,

解得x 0 =11,y 0 =-4? 所以点M的坐标为(11，-4)；

(3)由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴.

设BC所成直线的方程为y+4=k(x-11)(k≠0),

由
消x得ky 2 -32y-32(11k+4)=0,

所以y 1 +y 2 =
,由(Ⅱ)的结论得
=-4，解得k=-4,

因此BC所在直线的方程为y+4=-4(x-11),即4x+y-40=0.

21、解：（1）∵
是等差数列，且
，
，设公差为
。

∴
， 解得

∴
（
） …2分

在
中，∵

当
时，
，∴

当
时，由
及
可得

，∴

∴
是首项为1公比为2的等比数列

∴
（
） …4分

（2）

①

②

①-②得

∴
（
） -----8分

22、解：（1）当
时，
，令
，解之得

所以
的不动点是-1，3

（2）
恒有两个不动点，所以
，

即
恒有两个相异实根，得
恒成立。于是
解得

所以a的取值范围为

（3）由题意，A、B两点应在直线
上，

设A
，因为AB关于直线
对称，所以

设AB中点为M
，因为
是方程
的两个根。

所以

于是点M在直线
上，代入得

即

当且仅当
即
时取等号。

故
的最小值为