命题人：高辉莲 审题人：陈玉莲

本试卷分为选择题和非选择题两部分，由笫一部分(选择题)和第二部分（非选择题）组成，共4页，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.

3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.

4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.

5. 考试结束后，只将答题卷交回.

一、选择题（每小题5分，共50分）

1．若直线经过A(0，1)，B(3，4)两点，则直线AB的倾斜角为

（A）30o （B）45o （C）60o （D）120o

2．已知直线ax + 2y + 2 = 0与直线3x ? y ? 2 = 0平行，则a的值为

（A）? 6 （B）6 （C）? 3 （D）3

3．已知直线3x + 2y ? 3 = 0和6x + my + 1 = 0互相平行，则它们之间的距离是

（A）4 （B） （C） （D）

4．下列判断，正确的是

（A）平行于同一平面的两直线平行 （B）垂直于同一直线的两直线平行

（C）垂直于同一平面的两平面平行 （D）垂直于同一平面的两直线平行

5．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，AC与A1D所在直线所成的角等于

（A）30o （B）45o

（C）60o （D）90o

6．圆x2 + y2 ? 2x ? 2y + 1 = 0和圆x2 + y2 ? 8x ? 10y + 25 = 0的位置关系是

（A）相交 （B）外切 （C）内切 （D）相离

7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是

（A） （B）

（C） （D）1

8．直线x + y ? 2 = 0与圆x2 + y2 = 4相交于A、B两点，则弦AB的长度等于

（A）2 （B）2 （C） （D）1

9．若α，β，γ表示平面，m，n表示直线，则下列命题中，正确的是

（A）m(α，n(α，m∥β，n∥β，则α∥β （B）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

（C）若α∥β，m(α，n(β，则m∥n （D）若α∥β，m(α，则m∥β

10．已知点M(a，b)在圆O：x2 + y2 = 1外，则直线ax + by = 1与圆O的位置关系是

（A）相切 （B）相交 （C）相离 （D）不确定

二、填空题（每小题5分，共25分）

11．若直线x ? 2y + 6 = 0与x轴、y轴分别交于点A、B，则  的值为________．

12．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，BD1与平面ABCD所成的角的正切值为_____．

13．圆心为(1，2)，且与直线5x ? 12y ? 7 = 0相切的圆的方程为_______________．

14．过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是______________．

15．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，且球的体积为 ，则正方体的棱长为_______________．

三、解答题（共75分）

16．（本题满分12分）求满足下列条件的直线的方程．

（I）经过点B(3，0)，且与直线2x + y ? 5 = 0垂直；

（II）经过两直线2x + y ? 8 = 0和x ? 2y + 1 = 0的交点，且平行于直线4x ? 3y ? 7 = 0．

17．（本题满分12分）△ABC的三个顶点分别是A(?1，5)，B(5，5)，C(6，?2)，求△ABC的外接圆方程．

18．（本题满分12分）如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，棱AB = 1，点E、F分别是AB、BC的中点．

（Ⅰ）求证： EF⊥BD1；

（Ⅱ）求三棱锥B1?BEF的体积．

19． （本题满分12分）如图，在四棱锥V?ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱VA⊥底面ABCD，点E为VA的中点．

（Ⅰ）求证：VC∥平面BED；

（Ⅱ）求证：平面VAC⊥平面BED．

20．（本题满分13分）已知圆C：(x ? 1)2 + (y ? 2)2 = 25，直线l：(2m + 1)x + (m + 1)y ? 7m ? 4 = 0（m∈R）．

（Ⅰ）求证：无论m取什么实数，直线l都过定点，并写出这个定点的坐标；

（Ⅱ）求直线l被圆C截得的弦长最短时l的方程．

21．（本题满分14分）如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC = 90o，AA1⊥平面A1B1C1，AB = AC = AA1．

（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1BC1；

（Ⅱ）若点D为B1C1的中点，求AD与平面A1BC1所成角的大小．

2014～2015（上）邛崃市高2013级半期考试

数学(文)试题答案

二、

三、解答题（共75分）

16．（本题满分12分）求满足下列条件的直线的方程．

（I）经过点B(3，0)，且与直线2x + y ? 5 = 0垂直；

（II）经过两直线2x + y ? 8 = 0和x ? 2y + 1 = 0的交点，且平行于直线4x ? 3y ? 7 = 0．

解：（I）直线2x + y ? 5 = 0的斜率为 ? 2，设所求直线的斜率为k，则

? 2·k = ? 1，解得k = ……………………………………………………3分

∴由点斜式得 y = (x ? 3)，即x ? 2y ? 3 = 0………………………………6分

（II）联立方程组，解得 …………………………………9分

∴ 所求直线方程为y ? 2 = (x ? 3)，即4x ? 3y ? 6 = 0…………………12分

17．（本题满分12分）△ABC的三个顶点分别是A(?1，5)，B(5，5)，C(6，?2)，求△ABC的外接圆方程．

解：设圆的方程为x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0，代入A，B，C的坐标得

，………………6分 解得

∴△ABC的外接圆方程为x2 + y 2 ? 4x ? 2y ? 20 = 0 ………………12分

18．（本题满分12分）如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，棱AB = 1，点E、F分别是AB、BC的中点．

（Ⅰ）求证： EF⊥BD1；

（Ⅱ）求三棱锥B1?BEF的体积．

（Ⅰ）证明：连结AC、BD，AC与BD交于点O．

∵DD1⊥AD，DD1⊥AC，AD∩DC = D

∴DD1⊥平面ABCD．…………………………2分

∴DD1⊥AC………………………………………3分

又四边形是正方形，AC⊥BD，BD∩DD1 = D

∴AC⊥平面BDD1．……………………………5分

∴AC⊥BD1………………………………………6分

∵点E、F分别是AB、BC的中点

∴EF∥AC………………………………………7分

∴EF⊥BD1………………………………………8分

19． （本题满分12分）如图，在四棱锥V?ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱VA⊥底面ABCD，点E为VA的中点．

（Ⅰ）求证：VC∥平面BED；（Ⅱ）求证：平面VAC⊥平面BED．

（Ⅰ）证明：连结OE．

∵ 底面ABCD是正方形，∴O为AC的中点．

又E为VA的中点，∴OE∥VC．……………3分

又VC  平面BED，OE ( 平面BED，

∴ VC∥平面BED．………………………………6分

（Ⅱ）∵ VA⊥平面ABCD，∴VA⊥BD．………………7分

又 AC⊥BD，AC∩VA = A，

∴ BD⊥平面VAC．………………………………10分

∵ BD ( 平面BED，

∴ 平面VAC⊥平面BED．………………………12分

20．（本题满分13分）已知圆C：(x ? 1)2 + (y ? 2)2 = 25，直线l：(2m + 1)x + (m + 1)y ? 7m ? 4 = 0（m∈R）．

（Ⅰ）求证：无论 m 取什么实数，直线 l 都过定点，并写出这个定点的坐标；

（Ⅱ）求直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时l的方程．

（Ⅰ）证明：∵直线 l 的方程等价于 (2x + y ? 7)m + x + y ? 4 = 0（1）．………2分

令2x + y ? 7 = 0，则由x + y ? 4 = 0

∴，解得 ………………………………………………4分

∴点(3，1)的坐标使方程（1）恒成立．

∴ 无论m取什么实数，直线l都过定点，定点的坐标为(3，1)．……6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，直线恒过定点P(3，1)．

当x = 3,y = 1时，(x ? 1)2 + (y ? 2)2 =(3 ? 1)2 + (1 ? 2)2 < 25

∴点P在圆C内．由图知，r2 ? d2 = ．

∴当d 取最大值时，AB最短．……………………9分

又l⊥CP时，d取最大值．此时kCP = ? ，kl = 2…11分

∴ l 的方程为y ? 1 = 2(x ? 3)，即2x ? y ? 5= 0．……13分

21．（本题满分14分）如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC = 90o，AA1⊥平面A1B1C1，AB = AC = AA1．

（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1BC1；

（Ⅱ）若点D为B1C1的中点,求AD与平面A1BC1所成角的大小．

（Ⅰ）证明：

∵ AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1．

又 A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1 = A1

∴ A1C1⊥平面AA1B1B．

∴ A1C1⊥AB1．…………………4分

又四边形AA1B1B是正方形，AB1⊥A1B，A1B∩A1C1 = A1

∴ AB1⊥平面A1BC1．………………………………………7分