2014—2015学年第一学期高二年段期中考数学（理科）

联考试卷(考试时间:2014年11月12日上午)

考试时间：120分钟 总分：150分

命题人：林连峰 校对人：刘忠振

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，）

1. 在数列
中，
=1，
，则
的值为（ ）

A．49 B. 99 C.101 D. 102

2．若
，
，则一定有(　　)

A.
B.
C.
D.

3．设
是等比数列，且
、
是方程
的两个根，则
＝(　　)

A．2013　　　　B．－2013 C． 1 D．－1

4.已知
的三个内角为
满足
，则
的形状是（ ）

A.锐角三角形 B. 直角三角形

C. 钝角三角形 D.不能确定

5.已知实数,满足约束条件
’则
的取值范围是（　　）

A．[0,1] B．[1,2] C．[1,3] D．[0,2]

6.已知
的面积为
，且
，则角等于（　　）.

A.
B.
C.
或
D.
或

7．等差数列
的前项和为
，若
，则
的值是(　　)

A．28　　 B．24　　 　C．21　　 D．7

8.在
中，
，则
等于（　　）

A.
B.
C.
D.

9．已知数列
的前项和为
，且
＝
，数列
满足
＝

(
)，
是数列
的前项和，则
等于(　　)

A.　　 　B.　 　　C.　 　　D.

0．若不等式
在∈
上恒成立,则的取值范围是（　　）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，）

11．不等式
的解集为___________.

12.在
中，内角、、
的对边分别为、
、，已知
，
，
，则
.

13.
的内角
的对边分别为
.若
成等比数列，则
的最小值________.

14.已知
且
，则
的最小值是________.

15．给出数列
…，
，
，…，
，…，在这个数列中，第50个值等于1的项的序号是________.

三、解答题：（本大题共6小题，共80分，）

16．（本小题满分13分）

已知函数
，数列
满足
，试判断数列
是否

为等差数列，并求
的前项和
的最大值。

17．（本小题满分13分）

在锐角
中，内角、、
的对边分别为、
、，且2asinB＝b.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．

18．（本小题满分13分）

（1）已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，求不等式x2+bx+a>0的

解集.

（2）若不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对任意
均成立，求实数a的取值范围.

19．（本小题满分13分）

如果直线
与轴正半轴,轴正半轴围成的四边形封闭区域(含边界)中的点,使函数
的最大值为8,求
的最小值.

20.（本小题满分14分）

如图，为测量某建筑物AB的高度及取景点C与F之间的距离(点B，C，D，F 在同一水平面上，AB⊥平面BCF，且B，C，D三点共线)，某校研究性学习小组的同学在C，D，F三点处测得顶点A的仰角分别为45°，30°，30°.若∠FCB＝60°，CD＝16(－1)m.

(1)求建筑物AB的高度；

(2)求取景点C与F之间的距离．

21．（本小题满分14分）

已知数列
满足
,
.

(1)求数列
的通项公式;

(2)令
,求数列
的前项和
；

（3）试比较
与
的大小.

2014—2015学年第一学期高二年段期中考数学（理科）

联考参考答案

一、选择题：(共10个小题，每小题5分，计50分)

CABCD DACDB

二、填空题：(共5个小题，每小题4分，计20分)

11.
12.
13、

14.
15. 4901

三、解答题：(共6个小题，总计80分)

16．已知函数
，数列
满足
，试判断数列
是否为等差数列，并求
的前项和
的最大值。

16.解：
，

-------------------2

当
时

(常数) ----------5

由定义可知
为首项
,公差
的等差数列,------6

前项和
----------8

配方得：
---------------11

当
时
的值最大，

最大值为
------------------13

17．在锐角
中，内角、、
的对边分别为、
、，且2asinB＝b.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．

解:　(1)由2asinB＝b及正弦定理得：

2sinAsinB＝sinB ----------------------------------------2

sinB0

sinA＝. ------------------------------4

又A是锐角，

A＝. ----------------------------------------6

(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得

b2＋c2－bc＝36，即(b＋c)2－3bc＝36. --------------------------9

又b＋c＝8，

bc＝. --------------------------------11

由三角形面积公式S＝bcsinA可得：

△ABC的面积为. --------------------------------------13

18．（1）已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，求不等式—x2+bx+a>0的解集

（2）若不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对任意实数x均成立，求实数a的取值范围

18．解（1）：由题意知：－，－是方程ax2－bx－1＝0的根，

由根与系数的关系，得－＋＝，－×＝－. ---------2

解得a＝－6，b＝5， --------------------------------3

代入不等式—x2+bx+a>0可得：

x2－5x＋6＜0， ----------------------4

解得

不等式解集为(2,3). --------------------------------------------6

（2）原不等式可化为(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0，

显然a＝－2时不合题意， -----------------------------8

所以要使不等式对于任意的x均成立，必须有a＋2＞0，且Δ＜0，------10

即
解得a＞2.-----------------------------12

实数a的取值范围为a＞2 ----------------------------------13

19．如果直线
与轴正半轴,轴正半轴围成的四边形封闭区域(含边界)中的点,使函数
的最大值为8,求
的最小值.

解:设
为封闭区域中的任意点 , 则:

满足约束条件
--------------------2

可行域如图所示 : -------------------------5

由
可得：

目标函数的最优解为
---------------8

将
代入
得：

, 解得
--------------------------10

由基本不等式得:
(当且仅当
时,等号成立) --------12

故
的最小值为4 ------------------13

20. 如图，为测量某建筑物AB的高度及取景点C与F之间的距离(B，C，D，F在同一水平面上，AB⊥平面BCF，且B，C，D三点共线)，某校研究性学习小组的同学在C，D，F三点处测得顶点A的仰角分别为45°，30°，30°.若∠FCB＝60°，CD＝16(－1)m.

(1)求建筑物AB的高度；

(2)求取景点C与F之间的距离．

解：(1)设AB＝x，在Rt△ABC中，

∵∠ACB＝45°，

∴BC＝x，AC＝x. ------------------------------------2

在△ADC中，由正弦定理得
＝
，

即
---------------5

∴x＝16

即建筑物AB的高度为16 m. ---------------------------------7

(2)在Rt△ABC中，

∵∠ACB＝45°，∴BC＝16. -----------------------8

在Rt△AFB中，∠AFB＝30°，

∴由tan 30°＝可得：

FB＝16. ----------------------9

在△BCF中，设CF＝y，

∵∠BCF＝60°，

∴由余弦定理得：BF2＝BC2＋FC2－2BC·FC·cos 60°，--------------10

∴(16)2＝162＋y2－2·16·y·cos 60°，

即y2－16y－512＝0， ------------------------12

∴y1＝32，y2＝－16(负数舍去)， ------------------------13

即景点C与F之间的距离为32 m. --------------------------------14

21．已知数列
满足
,
.

(1)求数列
的通项公式;

(2)令
,数列
的前项和为
,

（3）试比较
与
的大小

解：(1)当
时,

. ------------------------3

又
也适合上式, --------------------4

所以
. ----------------------5

(2)由(1)得
,所以
. ------------------6

∴
①,

∴
②. ----------------------------7

由①-②得,
, -------------------8

所以
. --------10

（3）因为
,

-------------------------------11

所以确定
与
的大小关系等价于比较
与
的大小.

当
时,
;当
时,
;

当
时,
;当
时,
;,

可猜想当
时,
. ------------------------13

综上所述,当
或
时,
;

当
时,
. -------------------------14