宁德市五校教学联合体2014-2015学年第一学期期中考试

高二理科数学试题

（满分：150分 时间：120分钟）

命题人： 金新雄 阮龙杰 张沪博 黄传杰

注意事项：

1.答卷前，考生务必将班级、姓名、座号、考试座位号填写清楚.

2.每小题选出答案后，填入答案卷或填涂到答题卡中 .

3.考试结束，考生只将答案卷、答题卡交回，试卷自己保留.

4.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1．已知等比数列
中，
，则

A. 27 B. 15 C. 12 D. 1

2．若
，则下列不等式一定成立的是

A.
B.
C.
D.

3．在
中，角
所对的边分别为
，且
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

4. 已知等差数列
中，
，
，则数列
的前5项之和等于

A. 30 B. 25 C. 20 D. 16

5. 已知关于不等式
的解集是
, 则
等于

A.
B. C. 7 D.

6. 在
中, 角
所对的边分别为
, 若
则

角等于

A.
或
B.
或
C.
D.

7. 已知数列
满足：
，则
的值为

A. 55 B. 56 C. 57 D. 58

8. 在
中，角
所对边分别为
，若
，则
的形状是

A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形

9. 一船自西向东匀速航行，上午7点到达一座灯塔的南偏西75°

且距灯塔80 n mile的M处，若这只船的航行速度为
n mile，

则到达这座灯塔东南方向的N处是上午

A. 8点 B. 9点 C.10点 D.11点

10. 已知
，且关于的不等式
有解，则实数

的取值范围是

A.
B.
C.
D.

第II卷 （非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卷相应位置．

11. 已知等比数列
满足：
则该数列的前项和
 ※ ※ ；

12．已知实数x，y满足不等式组
，则目标函数
的最大值是

※ ※ ;

13. 已知正实数
满足
, 若
，则实数的取值范围是 ※ ※ ；

14. 如图, 在
中,

点在
边上，且
，则
的长为 ※ ※ ；

15. 定义：满足对任意的正整数
都成立的数列
为“降步数列”. 给出以下数列
：①
；②
；③
；

④
；⑤
；其中是“降步数列”的有 ※ ※ （写出所有满足条件的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. （本小题满分13分）

在
中，角、、所对的边分别为、、，已知
.

(I) 求的值；

（II）求
的面积和外接圆半径.

17. （本小题满分13分）

记不等式
的解集为，关于的不等式
的解集

为.

（Ⅰ） 当
时，求
；

（Ⅱ）求集合；

（Ⅲ）若
，求实数的取值范围.

18. （本小题满分13分）

红旗化肥厂生产、两种化肥. 某化肥销售

店从该厂买进一批化肥，每种化肥至少购买吨，

每吨出厂价分别为万元、万元.且销售店老板购买

化肥资金不超过
万元.

（Ⅰ）若化肥销售店购买、两种化肥的数量

分别是 (吨)、 (吨)，写出、满足的不等式组；

并在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域

（用阴影表示）.

（Ⅱ）假设该销售店购买的、这两种化肥能

全部卖出，且每吨化肥的利润分别为
万元、

万元，问销售店购买、两种化肥各多少吨时，才

能获得最大利润，最大利润是多少万元？

19.（本小题满分13分）

设等差数列
的前项和为
，若
与
的等差中项是
，且
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设

，求
最小值及相应的的值.

20．（本小题满分14分）

在
中，角
所对边分别为
，已知
,
的

面积为2.

（Ⅰ）求
的值 ；

（Ⅱ）若
，求
的值．

21.（本小题满分14分）

已知数列
, 其前项和为
，若
，
.

（Ⅰ）求
、
；

（Ⅱ）求数列
的通项公式
；

（Ⅲ）设
，求证：
．

宁德市五校教学联合体2014-2015学年第一学期期中考试

高二理科数学试题参考答案

1. A 2. B 3. C 4. B 5. D 6. A 7.D 8. C 9. D 10. A

11.
12. 6 13.
14.
15. ①③

16.解：

(I)由正弦定理得
,
, …………………………………....3分

…………………………………………………5分

（II）

的面积
…… ………………………9分

又
……………………………………………………. 11分

所以
的面积为
外接圆半径为
………………………………………………13分

17.解：(I)依题意得
........................................................................................2分

. …………………………………………………………………………………4分

所以
……………………………………………………………………6分

(II) 由
得
， ……………………………………7分

当
时，由
； ………………………………………………………8分

当
时，由
； ………………………………………………………………9分

当
时，由
； ………………………………………………………10分

所以当
时，
；

当
时，
；

当
时，
； …………………………………………………………11分

(III) 若
，

当当
或
时，由(II)不合题意 ………………………………………………12分

则
.....................................……………………………13分

18. 解：（Ⅰ）依题意，、满足的不等式组如下：

…………………3分

画出的平面区域 ……………6分

(Ⅱ) 设销售店出售这两种化肥的总利润为万元，

则目标函数为
，

表示过可行域内点斜率为
的一组平行线在轴上的截距.

联立
解得
即
……………………………9分

当直线过点
时，在轴上的截距最大，

即
（万元） …12分

答：销售店购买、两种化肥分别为吨、
吨时，才能使利润最大，最大利润为
万元

…………………………13分

19. 解：（Ⅰ）∵
与
的等差中项是-2，∴
，………………………… 2分

∵
，∴
， ……………………………………………..… 4分

∴，

. ……………............................6分

（Ⅱ）∵
， ∴
………………………………………… 8分

∵

∴
， …………………… 11分

当且仅当
即
时取等号，∴当
时，所求最小值为
…………….…… 13分

20.解：（Ⅰ）
的面积为2，
，
……………2分

又

............(1) ………………………………………………..........4分

又
...............(2) ,

联立(1) (2)解得
. ………………………………………………….................5分

A为锐角,
， 从而
………………………………...........6分

（Ⅱ）由余弦定理得
，
，由（1）知
，
又由（Ⅰ）得

.… ……………………………..9分:

. …………………………………………...........12分

. ……………………………………………………...................13分

21. 解: （Ⅰ）依题意得
整理得

又
所以
………………………………. .......... ..3分

（Ⅱ）

……………………………………………………….....................5分

. ……………………………………………………………………....................7分

…………………………………………………………………......................9分

（III）法一

………………......11分

.......…………………………………………………………………….........14分

法二

…………......11分

下同法一。