三明一中2014－2015学年第一学期学段考高二（理科）数学试卷

＿ 班 　　 姓名＿＿＿＿

考试时间：120分钟　　　　　　　　　　满分：150分

参考公式：
，

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。下列各小题中，所给出的四个答案中有且仅有一个是正确的）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ 　 ）

A．7 B．15 　　 C．25 D．35

2．双曲线
的渐近线方程为（ 　 ）

A．
　　 B．
　　 C．
　　 D．

3．“
”是“
”成立的（　　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分且必要条件 　 D．既不充分也不必要条件

4．从装有个红球和个黒球的口袋内任取个球，则互斥而不对立的两个事件是（ ）

A．“至少有一个黑球”与“都是红球” B．“至少有一个黒球”与“都是黒球”

C．“恰有个黒球”与“恰有个黒球” D．“至少有一个黒球”与“至少有个红球”

5．有一抛物线型拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽4米，则水面下降1米后，水面宽度为

（　　 ）米

A．
　 B．
　 C．
　　 D．

6．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B＝( )

A．
B．

C．
D．

7．下列命题中

①　“正多边形都相似”的逆命题

②　“若
，则，不全为零”的否命题

③　“若
，则
有实根”的逆否命题

④　命题：“
”是“
”的形式

其中正确的命题个数是（　　 ）

A．　　　　 B． 　　　C．
　　　　D．

8．以椭圆
的焦点为焦点，离心率
的双曲线方程是（　　　）

　　A．
　 B．
　 C．
D．

9．已知
，
，若向区域上随机投一点，则点落在区域内的概率为 （ 　 ）

　A．
　 B．
C．
　 D．

10．双曲线
的两焦点为
，点在双曲线上，且直线
的倾斜角之差为
，则
的面积为（　 ）

A．16
B．32
　 C．32 　D．42

11．直线
交抛物线
于、两点，若弦
的中点
，则

（ 　　 ）

A．
B．
　 C．　　　　　　D．

12．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点
是它的两个焦点，其长轴长为
，焦距为
．若放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是（　　　）

A．
B．
　C．
　 D．以上答案均有可能

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）

13．写出命题“
，使得
”的否定形式是 * * * * * ；

14．抛物线
的准线方程是* * * * * ；

15．设
，集合
，
，若
为单元素集，则
的值有* * * * *个；

16．下列四个命题中，

　① 二直线平行的充要条件是它们的斜率相等；

②　点
到
，
的距离和是4，则P的轨迹是线段
；

③　双曲线上的点与两焦点
满足
，则双曲线的离心率
；

④　若
的周长为
，
、
，则点C的轨迹方程是
．

其中正确的命题是* * * * *（将你认为正确的命题的序号都填上）.

三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

给出两个命题：命题：方程
无实数根；

命题：函数
为增函数．

若“或”为真命题，求实数的取值范围.

18．（本小题满分12分)

随着居民收入的增加，私家车的拥有量呈快速增长趋势，下表是A市
年以来私家车拥有量的调查数据：

年份
（年）













私家车拥有量（万辆）













（1）甲、乙两同学利用统计知识对以上数据进行处理，得到的线性回归方程分别为甲：
，乙：
．已知甲、乙两人中只有一人计算正确，请判断哪位同学的结论正确，并说明理由；

（2）在(1)前提下，请估计2014年该城市私家车的拥有量．

19．（本小题满分12分）

直线
过抛物线
的焦点，且交抛物线于
两点，

若
，
．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）求抛物线上的点到直线
的距离的最小值．

20．（本小题满分12分)

　先后抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有数字
），骰子向上的数字依次记为
．

（1）求
能被
整除的概率；

（2）求使关于的方程
有实数解的概率．

21．（本小题满分13分）

已知动圆与圆
外切，与圆
内切．

（1）求动圆圆心的轨迹方程；

（2） 已知直线
与的轨迹方程相交于不同的两点，求
的取值范围．

22．（本小题满分13分）

已知椭圆
的方程为
，左、右焦点分别是
，若椭圆
上的点
到
的距离和等于4．

（1）写出椭圆
的方程；

（2）设点
是椭圆
的动点，求线段
中点的轨迹方程；

（3）直线
过定点
，且与椭圆
交于不同的两点
，若
有锐角（
为坐标原点），求直线
的斜率
的取值范围．

草 稿 纸

三明一中2014-2015学年第一学期学段考

　　　　　　　高二（理科）数 学 答 题 卷　　考位号＿＿

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案



























二、填空题：

13．__________________________________； 　 14． _______________；

15．______________；　　　　　　　　　　　　　　　16．_______________．

三．解答题：

17．解：



18．解：



19．解：



20．解：



21．解：



22．解：





三明一中2014－2015学年第一学期学段考

高二（理科）数学参考答案

1－12．　BDAC　　BCBA　　DACD

13．
，使得
　　　　　 　14．

15． 4　　　　　　　　　　　　　　　　　　16．②　③

17．解：若为真命题，则

∴　
.

若为真命题，则
，　∴　
.　　……………………6分

又“或”为真命题
中至少有一个为真命题.

∴　由图得：实数的取值范围是
．　………………………12分

18．解法一：(1)由表中数据可知
，
，得样本中心

分别代入
和
，知
过样本中心
，

又因为已知甲、乙两人中只有一人计算正确，所以乙的结论正确．……………6分

(2) 因为2014＝2009＋5，所以
，代入
，得

由此预计2014年该城市私家车的拥有量将达到19.6万辆． …………………12分

解法二：(1)由表中数据可知，
，
，又由
,

可得
，
，

于是所求的回归直线方程为
，即乙的结论正确． ……………6分

(2)　同解法一． …………………………12分

19．解：（1）由抛物线定义得：

∴　
.　　∴　抛物线标准方程
.　……………………6分

（2）由题得，直线与抛物线没有公共点，

设与直线平行且与抛物线相切的直线
，

联立
，消去整理得：
.

∴　
，得切线
.

∴　
　即为抛物线上的点到直线
的最小距离．

………………………………12分

20．解：一次事件记为
，则共有
种不同结果，因此共有36个基本事件，

………………………………2分

设“
能被
整除”为事件A，

则A中符合条件的
有
共有4种，　

∴　
．

答：
能被
整除的概率为
． ………………………………7分

（2）设“方程
有实数解”为事件B，若方程
有实数解，则
，则B中符合条件的
有：
,

，…，

共29种，则
．

答：方程
有实数解的概率为
． ……………………………12分

法2：因为符合
的
有：
共7种，

故由对立事件得
．

21．解：（1）如图：设动圆圆心坐标
，为动圆的半径，

∵　动圆与圆
外切

动圆与圆
内切

∴　两式相减得
,

∴　动圆圆心的轨迹是以
、
为焦点，实轴
的双曲线的右支，又　
,

∴　动圆圆心的轨迹方程：
．………………………6分

（2）联立
，消去整理得：
，　　………①

∵　直线
与点的轨迹相交于不同的两点
，
，

∴
，
，
．

………………………………10分

等价于方程①有两个不相等的正实根
，

．

∴　
的取值范围
． ………………………………13分

22．解：（1）由题意得：

又点
椭圆
上，∴　
,

∴　椭圆
的方程
．　　　　　　　　　　　　　　　　…………4分

（2）设椭圆
上的动点
，线段
中点
，焦点
,

由题意得：
代入椭圆
的方程得，
,

即　
为线段
中点的轨迹方程．　　　　　　　…………8分

（3）由题意得直线
的斜率存在且不为
，设
代入
整理，

得　
,

　． …………①

设
,

∴　
．　

∵　
有锐角
，

即　
．

又　
．

∴　

,

∴　
　． …………②

由①、②得　
．

∴　
的取值范围是
． ………………………………13分