益阳市箴言中学2014—2015学年高二1月月考

理科数学试题

〖命题范围：选修2—1，2—2，2-3第一章〗

时量 120分钟 总分 150分

一、选择题（10×5＝50分）

若i为虚数单位，
，且
则
( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2． 给出以下四个命题：

①“若x＋y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若
，则
有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．

其中真命题是 ( )

A．①② B．②③ C．①③ D．③④

3．某单位有
名成员，其中男性
人，女性
人，现需要从中选出
名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是（ ）

B．
C．
D．

4. 动点
到点
及点
的距离之差为
，则点
的轨迹是（ ）

A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线

5. 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为(　　)

A．56 B．52

C．48 D．40

6. 已知
，
，
猜想
的表达式为( )

A.
B.

C.
D.

7．已知平行六面体
中，
，

，则
的长为（ ）

A.
B.
C. 10 D.

8．已知抛物线
＝2px（p>1）的焦点F恰为双曲线
（a>0,b>0）的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为 (?? )

??? A．?
??? ????? ???B．?2????? ????????C．
?? ???? ????D．
?

9. 等比数列
中，
，
，函数
，则
( ）

A.
B.
C.
D.

10．设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径（ ）

A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2C

C．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C

二、填空题（5×5＝25分）

11．已知向量
，
，若
成1200的角，则k= ．

12. 若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题,则x的取值范围是 。

13. 过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线有 条。

14. 7名同学中安排6人在周六到两个社区参加社会实践活动. 若每个社区不得少于2人，则不同的安排方案共有 种（用数字作答）。

15. 将边长为1m的正三角形薄片沿一条平形于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记
，则
的最小值是 .。

三、解答题（本大题共有6道小题，75分）

16. （本小题满分12分） 若
的展开式中各项系数之和为
，则展开式的常数项为多少？

17.（本小题满分12分）从
名男同学中选出
人，
名女同学中选出
人，并将选出的
人排成一排．

（1）共有多少种不同的排法？（用数字作答）

（2）若选出的
名男同学不相邻，共有多少种不同的排法（用数字作答）

18.（本小题满分12分）在四棱锥
中，
平面
，底面
是矩形，已知
，
是线段
上一点，
.

( 1 )求证
；

（2）求
与平面
所成角的正弦值大小．.

19．（本小题满分13分）线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求Smax．

．

．

20.（本小题满分13分） 设函数
.

（1）当
时，求函数
的单调区间；

（2）设函数
求证：当
时
.

21．（本小题满分13分）已知椭圆

的离心率为
，定点
，椭圆短轴的端点是
、
，且
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）设过点
且斜率不为
的直线交椭圆
于
，
两点.试问
轴上是否存在定点
，使
平分
？若存在，求出点
的坐标；若不存在，说明理由.

理科数学试卷

参考答案

一、选择题：（每小题5分，共50分）

DCBDC BDCCD

二、填空题：（每小题5分，共25分）

11、
； 12、[1,2)； 13、2； 14、350； 15、

三、解答题：（本大题共75分）

16、（本小题满分12分）

解：解：令
，则
的展开式中各项系数之和为
，所以
，则展开式的常数项为

.

17、（本小题满分12分）解：（1）

（2）
，

18、（本小题满分12分）

（1）略 (2)解：如图，以
为坐标原点，建立空间直角坐标系，则

，
，
，
，
.

设
,则
，

设平面
的一个法向量为

设
与平面
所成角为
,则

与平面
所成角的正弦值为

19、（本小题满分13分）．解 依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=－b/a，所以
(1)

又直线x＋y=4与抛物线y=ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，

由方程组
得ax2＋(b＋1)x－4=0，其判别式必须为0，即(b＋1)2＋16a=0．

于是
代入（1）式得：
，
；　

令S'(b)=0；在b＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b＜3时，S'(b)＞0；当b＞3时，S'(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S取得最大值，且

20、（本小题满分13分）

【解析】（I）当p =1时，
，其定义域为
.

所以
. ， 由
得
，

所以
的单调增区间为
；单调减区间为

（II）由函数
, 得

由（I）知，当p =1时，
，即不等式
成立.

所以当
时，
，

即g(x)在
上单调递减，从而
满足题意.

21、（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）解：由
， 得
.

依题意△
是等腰直角三角形，从而
，故
.

所以椭圆
的方程是

（Ⅱ）解：设
，
，直线
的方程为
.

将直线
的方程与椭圆
的方程联立，

消去
得
.

所以
，
.

若
平分
，则直线
，
的倾斜角互补，所以
.

设
，则有
.

将
，
代入上式，整理得
，

所以
.

将
，
代入上式，整理得
.

由于上式对任意实数
都成立，所以
.

综上，存在定点
，使
平分