兰州第一中学2014-2015学年高二上学期期末考试

数学（理）试题

说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）

第I 卷（选择题）

一、选择题(每小题3分，共30分，将答案写在答题卡上)

1．如果命题p(q为真命题，p(q为假命题，那么（ ）

A．命题p、q都是真命题 B．命题p、q都是假命题

C．命题p、q至少有一个是真命题 D．命题p、q只有一个真命题

2．过点P（2,4）且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点的的直线有（ ）

A．0条 B． 1条 C．2 条 D． 3条

3．双曲线
的一条渐近线方程是 ( )

A．
B．
C．
D．

4．曲线
与曲线
的（ ）

A．焦距相等 B．离心率相等 C．准线相同 D． 焦点相同

5．设点
，则AB的中点到C的距离为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．下列命题错误的是 (　 )

A．命题“若
，则
”的逆否命题为“若
，则
”.

B．若命题
，
，则“
”为：
.

C．若命题p:
或
；命题q:
或
，则
是
的必要不充分条件.

D．“
”是“
”的充分不必要条件.

7．已知向量
，且
，则k的值为（ ）

A． 1 B．
C．
D．

8．已知线段AB、BD在平面(内，(ABD=120°，线段AC((，如果AB=a，BD=b，AC=c，则线段CD的长为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E1、F1分别是A1B1、C1D1

上的点，并且4B1E1＝4D1F1＝A1B1，则BE1与DF1所成角的余弦

值是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知F是双曲线
的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为 ( )

A． (1，+∞) B．(1,2) C．(1,1+
) D．(2,1+
)

第II卷（非选择题）

二、填空题（第13小题6分，其余每小题4分，共18分，将答案写在答题卡上）

11．已知点
，在抛物线
上找一点P，使得
取最小值（F为抛物线的焦点），此时点P的坐标是 .

12．对于以下命题：

①
是
共线的充要条件；

②对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若
，则P、A、B、C四点共面.

③如果
,那么
与
的夹角为钝角

④若
为空间一个基底，则
构成空间的另一个基底；

⑤若
，则
.

其中不正确结论的序号是___________________.

13．已知椭圆
与双曲线
的公共焦点为F1，F2，点P是两条曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2的值为 .

14．若椭圆
与直线
交于A，B两点，若
，则过原点与线段AB的中点M的连线的斜率为 ．

兰州一中2014-2015学年第一学期高二年级期末数学试题

参考答案 （理科）

第I 卷（选择题）

一、选择题(每小题3分，共30分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

C

B

A

D

C

B

A

D

C



 第II卷（非选择题）

二、填空题（第13小题6分，其余每小题4分，共16分）

11．
12．①③ 13．
14．

三、解答题（本题共5小题，共54分）

15．（本小题满分10分）已知双曲线的中心在原点，焦点
在坐标轴上，离心率为
，且过点
．

（Ⅰ）求双曲线方程；

（Ⅱ）若点
在双曲线上，求证：
.

解析：（Ⅰ）由题意，可设双曲线方程为
，又双曲线过点
，

解得
故双曲线方程为
. ……………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：
，
， ∴
，

∴
，
， ∴
，

又点
在双曲线上， ∴
， ∴
，

即
.……………………………10分

16．(本小题满分10分) 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB

和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.

证明：分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D－xyz，

则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E，

M(1,1，m)．∴＝(－1,1,0)，

又E、F分别为AB、BC的中点，∴＝＝.

又∵＝，＝(1,1，m－1)，

∵D1M⊥平面FEB1，∴D1M⊥EF且D1M⊥B1E.

即·＝0，且·＝0. ∴，∴m＝.

故取B1B的中点M就能满足D1M⊥平面EFB1.

17．（本小题满分10分）已知定点
（1,0）和定圆B：
动圆P和定圆B相切并过A点，

（Ⅰ）求动圆P的圆心P的轨迹C的方程.

（Ⅱ）设Q是轨迹C上任意一点，求
的最大值.

解析：（Ⅰ）设
，则
,

所以点P的轨迹是以A,B为焦点，长轴长为4的椭圆

所以点P的轨迹方程是
……………………………………………………4分

（Ⅱ）设
则

当且仅当
时取“=”，
，

的最大值是
.……………………………………………………10分

注：其它解答参考给分.

18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱
中，
.

（Ⅰ）若D为
中点，求证：平面
(平面
；

（Ⅱ）若二面角B1—DC—C1的大小为60°，求AD的长.

解法1：（Ⅰ）∵
，∴
，

又由直三棱柱性质知
，∴
平面ACC1A1.∴
……①

由D为中点可知，
，∴
即
……②

由①②可知
平面
，又
平面
，故平面
平面
.

………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（1）可知
平面ACC1A1，如图，在面ACC1A1内过C1作
，交CD或延长线或于E，连EB1，可知
为二面角B1—DC—C1的平面角，

∴
由B1C1=2知，
，

设AD=x，则
∵
的面积为1，∴
，

解得
，即
……………………………………………………12分

解法二：（Ⅰ）如图，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系. 则 C（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），D（1，0，1）即

得
；又
，

∴
平面B1C1D.又
平面B1CD，

∴平面
平面
…………………………………………6分

（Ⅱ）设AD=a，则D点坐标为（1，0，a），
，

设平面B1CD的法向量为
. 则由
得
，

又平面C1DC的法向量为
，则由
，即
，

故
………………………………………………………………12分

19．（本小题满分12分）已知两点
及
，点
在以
、
为焦点的椭圆
上，且
、
、
构成等差数列．

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)如图，动直线
与椭圆
有且仅有一个公

共点，点
是直线
上的两点，且
．

求四边形
面积
的最大值．

解析：(Ⅰ)依题意，设椭圆
的方程为
．

构成等差数列，

．

又
，故
．

从而，椭圆
的方程为
． …………………………………………4分

(Ⅱ)将直线
的方程
代入椭圆
的方程
中，

得：
． ……………………5分

由直线
与椭圆
仅有一个公共点知，
，

化简得：
． …………………………6分

设
，
， …………………………8分

（法一）当
时，设直线
的倾斜角为
，

则
，
，

， …………………………10分

又
，
当
时，
，
，
．

当
时，四边形
是矩形，
．

故四边形
面积
的最大值为
． ……………………………12分

（法二）
，

．

．

四边形
的面积

， ………10分