1．为了解132名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为11的样本，则分
段的间隔为

A.10 B.11 C.12 D.13

2．下列说法正确的是

A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”

B．命题“若A＝B，则tanA＝tanB”的逆否命题为假命题

C．命题“
x0∈R，x02＋x0－1＜0”的否定是“
x∈R，x2＋x－1＞0”

D．若“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题

3．已知
的取值如下表所示，若
与
线性相关，且
，则

x

0

1

3

4



y

2.4

3.9

5.6

6.1





A．2.2 B．2.6 C．2.8 D．2.9

4．已知命题p：若x>y，则
；命题q：若a<|b|，则
.下列四个命题：

①
，其中真命题的编号是

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

5．准线为x=2的抛物线的标准方程是（　　）

A．y2=﹣4x B．y2=﹣8x C．x2=4y D．x2=8y

6．已知
，如果
是
的充分不必要条件，则实数
的取值范围是

A.

B.
C.
D.

7．如图给出的是计算1＋
＋
＋…＋
的值的一个程序框
图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句分别是

A．n＝n＋2，i>21?

B．n＝n＋2，i>20?

C．n＝n＋1，i≥20?

D．n＝n＋1，i>21?

8．直线
经过椭圆
的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为

A.

B.
C.
D.

9．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为

A．
B．
C．
D．

三、解答题：（3小题，共34分）

15．（本小题10分）

某校从高一
年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：
，
，……，
后得到如图的频率分布直方图．

（Ⅰ）求图中实数a的值；

（Ⅱ）若该校高一年级共有学生50
0人，试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数．

（Ⅲ）若从样本中数学成绩在
与
两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝
对值不大于10的概率.

16．（本小题12分）

已知抛物线
.

（Ⅰ）若直线
与抛物线
相交于
两点，求
弦长；

（Ⅱ）已知△
的三个顶点在抛物线
上运动.若点
在坐标原点，
边过定点
，点
在
上且
，求点
的轨迹方程.

17. （本小题12分）

已知命题：“
，使等式
成立”是真命题．

（Ⅰ）求实数
的
取值集合
；

（Ⅱ）设不等式
的解集为
，若
是
的必要条件，求
的取值范围．

第Ⅱ卷（共50分）

一、选择题：（2小题，每小题5分，共10分）

18．下列命题中，真命题是

A．
是
的充分不必要条件

B．“已知
，若
，则
或
”是真命题

C．二进制数
可表示为三进制数

D．“平面向量
与
的夹角是钝角”的充要条件是“
”

19．已知
（a＞b＞0），M、N是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上任意一点，且直线
PM、PN的斜率分别为
，
（

≠0），若
＋
的最小值为1，且椭圆过点
，则椭圆方程为

A．
B．
C．
D．

二、填空题：（1小题，共4分）

三、解答题：（3小题，共
36分）

21．（本小题12分）

已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球
个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率为
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球的标号为
，第二次取出的小球的标号为
.

(i)记“
”为事件
，求事件
的概率；

(ii)在区间
内任取2个实数
，记 “
” 为事件B，求使事件B恒成立的概率.

22．（本小题12分）

设命题
函数
的定义域R，命题
不等式
对一切正实数x均成立，如果命题
为真，
为假，求实数a的取值范围.

23．（本小题12分）

如图，设椭圆
的左、右焦点分别为
，点
在椭圆上，
，
，
的面积为
.

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设圆心在
轴上的圆C与椭圆在
轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆C的方程

稿 纸

福州八中2014—2015学年第一学期期中考试

高二数学（理） 试卷参考答案及评分标准

第I卷（共100分）

一、选择题：（共10小题，每小试题5分，共50分）

1．C 2．D 3．C 4．C 5．B 6．B 7．B
8．A 9．D 10．D

二、填空题：（4小题，每小题4分，共16分）

11．3 12．
13．80 14．

三、解答题：（3小题，共34分）

17．（本小题12分）【解析】 (1) 由题意知，方程
在
上有解，

即m的取值范围就为函数
在
上的值域，………………2分

易得
…………………………4分

(2) 因为
是
的必要条件，所以

当
时，解集N为空集，不满足题意 ………………………… 5分

当
时，
，此时集合

则
，解得
…………………………………… 8分

当
时，
，此时集合

则
……………………………………………………11分

综上,
的取值范围是：
……………………………… 12分

第Ⅱ卷（共50分）

一、选择题：（共2小题，每小试题5分，共10分）

18．B 19．C

二、填空题：（共4分）

20．

三、解答题：（3小题，共36分）

21．（本小题12分）【解析】（Ⅰ）由题意，
，
……………3分

（Ⅱ）①将标号为1的小球记为
，
，将标号为2的小球
记为
，
，两次不放回的取小球的所有基本事件为10个，事件A包含的基本事件为3个.

.……………………………………7分

②.∵a+b的最大
值为4，∴事件B等价于:
,………………8分

可以看作平面中的点,则全部结果所构成的区域

,

而事件B的所构成的区域B=
,………………10分

.…………12分

22．（本小题12分）【解析】
为真
恒成立，

当
，符合题意，…………………………1分

当
时，由

∴
…………………… 5分

为真

对一切
均成立， …………………………7分

又

从而
………………………… 8分

又
. ………… 12分

（其他解法酌情给分）

23．（本小题12分）【解析】解：（Ⅰ）设
，其中
，

由
得

从而
故
.……………………2分

从而
，由
得
，因此
.

所以
，故

因此，所求椭圆的
标准方程为：
…………………………4分

（Ⅱ）如右图，设圆心在
轴上的圆
与椭圆
相交，
是两个交点，
，
,
是圆
的切线，且


，由圆和椭圆的对称性，易知
，
. …………5分

由（1）知
，

所以
，再由


，得
，

又由椭圆方程得
，即
，解得
或
.

当
时，
重合，此时题设要求的圆不存在. …………………………7分

当
时，过
分别与
,
垂直的直线的交点即为圆心
.………8分

由
,
是圆
的切线，且


，知
，又

故圆
的半径
.……………………………10分

容易求得圆心坐标为(0，
)………………………………………………11分

所以，所求的圆的方程为
……………………12分