参考公式：若（x
，y
），（x
，y
）…，（x
，y
）为样本点，
为回归直线，则
，

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡相应位置）

1．命题

的否定形式
为（ ）

A.
B.

C.
D.

2．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为(　　)．

A．3 B．4 C．5 D．6

3．已知命题
，命题
，则是的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．若椭圆＋＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2是(　　)

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形

5．已知双曲线
的渐近线方程为
，此双曲线的离心率为（ ）

6． 已知x与y之间的几组数据如下表：

x

1

2

3

4

5

6



y

0

2

1

3

3

4



假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是(　　)

A. ＞b′，＞a′ B. ＞b′，＜a′

C. ＜b′，＞a′ D. ＜b′，＜a′

7．如图，
是双曲线C：
，（a>0,b>0）的左、右焦点，过
的直线
与C的左、右两支分别交于A、B两点，若
,则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．2 D．

8．若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为 (　　)

A．至多一个 B．0个 C．1个 D．2个

9．将长为1的小棒随机拆成3小段，则这3小段能构成三角形的概率为(　　)

A.  B.  C.  D. 

10．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈（0，
），

以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，则（ 　）

A．

随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值



　

B．

随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值



　

C．

随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大



　

D．

随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小





二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

11．已知直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________________。

12．如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1、a2，则a1，a2的大小关系是_____________________________。

13．已知动圆
与圆
和圆
都外切,则动圆圆心
的轨迹方程是________________________________。

14．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，且过点M(－１，３)，则该双曲线的标准方程为________________________________。

15．给出以下四个命题：

①若
，则
；②“若a+b≥2，则a，b 中至少有一个不小于1” 的逆命题；

③“若x2+y2=0，则x，y都为0”的否命题；④若
，则
．

其中真命题是________________________________。

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题满分13分）

命题: “方程
表示双曲线” (
)；命题:
定义域为，若命题
为真命题，
为假命题，求实数
的取值范围.

17.（本小题满分13分）

某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示．

（I）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；

（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？

（Ⅲ）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？

18.（本小题满分13分）

已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0，

q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0，

且 p是 q的必要不充分条件，求a的取值范围.

19.（本小题满分13分）

椭圆C：
，直线l交椭圆C于A，B两点.

（1）若l过点P(1，
)且弦AB恰好被点P平分，求直线l方程．

（2）若l过点Q(0，2)，求△AOB(O为原点)面积的最大值．

20．（本小题满分14分）

已知双曲线
的顶点、焦点分别为椭圆
:

的焦点、顶点.

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)已知一直线
过椭圆
的右焦点
，交椭圆于点、.当直线
与两坐标轴都不垂直时，在轴上是否总存在一点，使得直线
的倾斜角互为补角？若存在,求出坐标；若不存在，请说明理由.

21．（本小题满分14分）

已知椭圆
过点
，其焦距为.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为
，则椭圆在其上一点
处的切线方程为
，试运用该性质解决以下问题：

（i）如图（1），点为
在第一象限中的任意一点，过作
的切线
，
分别与轴和轴的正半轴交于
两点，求
面积的最小值；

（ii）如图（2），过椭圆
上任意一点作
的两条切线
和
，切点分别为
.当点在椭圆
上运动时，是否存在定圆恒与直线
相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.

图（1） 图（2）高二上学期期中考试数学（理）答案

一、选择题：

二、填空题

三、解答题

17.（Ⅰ）由题意知，第2组的频数为
人,

第3组的频率为
,

频率分布直方图如下:

…………4分

18. 解：设A＝{x|x2－4ax＋3a2＜0(a＜0)}＝{x|3a＜x＜a}，………………2分

B＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＜0}

＝{x|x2－x－6＜0}∪{x|x2＋2x－8＞0}

＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x＜－4或x＞2}＝{x|x＜－4或x≥－2}.………………6分

因为 p是 q的必要不充分条件，所以 q? p，且 p推不出 q …………7分

而?RB＝{x|－4≤x＜－2}，?RA＝{x|x≤3a，或x≥a}

所以{x|－4≤x＜－2}
{x|x≤3a或x≥a}，

或
………………11分

即－≤a＜0或a≤－4. ………………13分

19. （1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程得：
，
并作差得：

(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，又x1＋x2＝2，y1＋y2＝
，代入得k=＝－1.

则此弦所在直线方程是y－
＝－（x－1） 即x＋y－
＝0. ………………5分

(2)易知直线AB的斜率存在，设其方程为y＝kx＋2. ………………6分

将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0. ……7分

令Δ＝144k2－36(1＋3k2)>0，得k2>1.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.………………8分

所以S△AOB＝|S△POB－S△POA|＝×2×|x1－x2|＝|x1－x2|.

因为(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝，……10分

设k2－1＝t(t>0)，则(x1－x2) 2＝＝≤＝.……12分

当且仅当9t＝，即t＝ ,k2－1＝, k2 ＝
时 等号成立，

此时△AOB面积取得最大值.………………13分

(Ⅱ)假设存在一点，使得直线
的倾斜角互为补角，

依题意可知直线
、
斜率存在且不为零.

不妨设
，直线
的方程为
，
…………5分

由
消去得
………6分

设
则
……………8分

∵直线
的倾斜角互为补角，∴
对一切k恒成立，……………9分

即
对一切k恒成立 …………10分

又
，
，

代入上式可得
对一切k恒成立……………11分

∴
对一切k恒成立， ……………12分

即
,
，∴
， ……………13分

∴存在
使得直线
的倾斜角互为补角. ……………14分

21. （I）解：依题意得：椭圆的焦点为
，由椭圆定义知：

，所以椭圆
的方程为
.…………… 4分

（II）（ⅰ）设
，则椭圆
在点B处的切线方程为

令
，
，令
，所以
………… 5分

又点B在椭圆的第一象限上，所以

，
…………… 7分

，当且仅当

所以当
时，三角形OCD的面积的最小值为
………… 9分