湖南省怀化三中2014-2015学年度高二上学期期中考试数学理试题

时量：120分钟 分值：150分

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.

1．命题“
”的否定为（ ）

A．
B．

C．
D．

2．双曲线
的渐近线方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若
,
，
，则下列向量中与
相等的向量是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．如果
，那么
的最小值是（ ）

A．4 B．
C．9 D．18

5．在△ABC中，若a = 2 ,
,
, 则B等于 （ ）

A．
B．
或

C．
D．
或

6．如右图，已知正方体
中，异面

直线
与
所成的角的大小是（ ）

A．
B．

C．
D．

7．若不等式
和不等式
的解集相同，则、
的值为（ ）

A． =﹣8
=﹣10 B． =﹣4
=﹣9

C． =﹣1
=9 D． =﹣1
=2

8．已知△ABC的顶点B 、C在椭圆
上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是（ ）

A.2
B.
C.
D. 4

9．在等比数列
中，
=6，
=5，则
等于（ ）

A．
B．
C．
或
D．﹣
或﹣

10．椭圆
的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 请把正确答案直接填在答题卡上的相应横线上.

11．已知等差数列{
}满足
=28，则其前10项之和为________________．

12．设变量、满足约束条件
，则
的最大值为_________________．

13．已知向量
，且A、B、C三点共线，则k=________．

14．设p、q是两个命题，若p是q的充分不必要条件，那么“非p”是 “非q”的______________条件．

15．数列{
}满足
，则{
}的前60项和为_______________．

三、解答题：本大题共6小题, 共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．(本小题满分12分)

已知命题p：方程
在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数
满足不等式
，若命题“p∨q”是假命题，求实数的取值范围．

17．(本小题满分12分)

设椭圆方程为
=1，过点
的直线
交椭圆于点、，
为坐标原点，点为线段
的中点，当
绕点
旋转时，求动点的轨迹方程.

18．(本小题满分12分)

△ABC中，
是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且

（I）求∠B的大小；

（II）若=4，
，求
的值。

19．(本小题满分13分)

如图，正方形
所在的平面与平面
垂直，
是
的交点，
，且
。

（I）求证：
；

（II）求二面角
的大小。

20．(本小题满分13分)

已知等比数列
的前项和为
，且
是
与2的等差中项，等差数列
中，
，点
在直线
上．

(I)求
和
的值；

(II)求数列
的通项
和
；

(III)设
，求数列
的前n项和
．

21．(本小题满分13分)

已知m＞1，直线
，椭圆
，
分别为椭圆
的左、右焦点.

（I）当直线
过右焦点
时，求直线
的方程；

（II）设直线
与椭圆
交于
两点，
，
的重心分别为
.若原点
在以线段
为直径的圆内，求实数的取值范围.

2014年下期期中考试高二年级理科数学参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

A

D

D

B

C

B

B

C

B



二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 请把正确答案直接填在答题卡上的相应横线上.

11. 140 12. 18 13.
14. 必要不充分 15. 1830

三、解答题：本大题共6小题, 共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．(本小题满分12分)

已知命题p：方程
在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数
满足不等式
，若命题“p∨q”是假命题，求实数的取值范围．

解：由2x2＋ax－a2＝0得(2x－a)(x＋a)＝0，∴x＝或x＝－a，

∴当命题p为真命题时||≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2. ………………………………………………4分

又只有一个实数
满足
，

即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2. ……8分

∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.∴命题“p∨q”为真命题时，|a|≤2.……………………10分

∵命题“p∨q”为假命题，∴a>2或a<－2.即a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．……12分

17．(本小题满分12分)

设椭圆方程为
=1，过点
的直线
交椭圆于点、，
为坐标原点，点为线段
的中点，当l绕点
旋转时，求动点的轨迹方程.

解：设（x，y）是所求轨迹上的任一点，

(1)当斜率存在时，直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

由
得： （4+k2）x2+2kx－3=0，…………………………………………4分

x1+x2=－
y1+y2=
，…………………………………………6分

由
得：（x，y）=
（x1+x2，y1+y2），即：
……8分

消去k得：4x2+y2－y=0 …………………………………………10分

(2)当斜率不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合方程

所以动点P的轨迹方程为：4x2+y2－y= 0。…………………………………………12分

18．(本小题满分12分)

△ABC中，
是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且

（1）求∠B的大小；

（2）若=4，
，求
的值。

解：⑴由

…………………………………………6分

⑵

………………………………12分

19．(本小题满分13分)

如图，正方形
所在的平面与平面
垂直，
是
的交点，
，且
。

（I）求证：
；

（II）求二面角
的大小。

解: ∵四边形
是正方形 ，

，

∵平面
平面
，

平面
，

∴可以以点为原点，以过点平行于
的直线为轴，

分别以直线
和
为轴和轴，

建立如图所示的空间直角坐标系
．…………2分

设
，则

，

是正方形
的对角线的交点，

．

(1)

，
，
，

，

平面
． ………………………………………………………………6分

(2) 设平面
的法向量为
，则
且
，

∴
且

即

取
，则
， 则

又∵
为平面
的一个法向量，且
，

，

设二面角
的平面角为
，则
，……………………………11分

．

∴二面角
等于
． …………………………………………12分

20．(本小题满分13分)

已知等比数列
的前项和为
，且
是
与2的等差中项，等差数列
中，
，点
在直线
上．

(I)求
和
的值；

(II)求数列
的通项
和
；

(III)设
，求数列
的前n项和
．

解：（1）由
得：
；
；
；……………………2分

由
得：
；
；
；……………………4分

（2）由
┅①得
┅②；（
）

将两式相减得：
；
；
（
）

所以：当
时：
；故：
；……………………6分

又由：等差数列
中，
，点
在直线
上．

得：
，且
，所以：
；……………………8分

（3）
；利用错位相减法得：
；……………………13分

21．(本小题满分13分)

已知m＞1，直线
，椭圆
，
分别为椭圆
的左、右焦点.

（1）当直线
过右焦点
时，求直线
的方程；

（2）设直线
与椭圆
交于
两点，
，
的重心分别为
.若原点
在以线段
为直径的圆内，求实数的取值范围.

（1）解：因为直线

经过
，所以
,得
，

又因为
，所以
，故直线
的方程为
。……………………4分

（Ⅱ）解：设
。

由
，消去得

…………………………5分

则由
，知
，……………………………………6分

且有
…………………………………………………………7分

由于
，故
为
的中点，

由
，可知

设
是
的中点，则
，由题意可知

即
，即
………………10分

而

所以
，即
。

又因为
且
，所以
。所以的取值范围是
。……………………13分