一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）

A．至多有一次中靶 B．两次都中靶

C．只有一次中靶 D．两次都不中靶

2．命题“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　)

A．?x∈R，|x|＋x2<0 B．?x∈R，|x|＋x2≤0

C．?x0∈R，|x0|＋x<0 D．?x0∈R，|x0|＋x≥0

3．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧
B．
∧q

C．
∧
D．p∧q

4．若两条直线
和
平行，则它们之间的距离为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．若经过椭圆
的右焦点
作垂直于轴的直线与椭圆交于
两点，
是椭圆的左焦点，则
的周长为（ ）

A．10 B．20 C．30 D．40

6．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数
则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(　　)

A．y^＝0.4x＋2.3 B．y^＝2x－2.4

C．y^＝－2x＋9.5 D．y^＝－0.3x＋4.4

7．当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，

输出的S的值为( 　)

A．7 B．42

C．210 D． 840

8．已知点M与二个定点
的距离的比为

，则点M的轨迹方程为（ ）

A.
B.

C.
D.

9．下列命题中，正确的个数为（ ）

①“圆心到直线的距离等于半径”是“这条直线为圆的切线”的充要条件

②“
”是“
”的充分不必要条件

③“
”是“
”的必要不充分条件

④“
”是“
”的既不充分又不必要条件

A．0 B．1 C．2 D．3

10．由不等式组
确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( 　)

A．
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）

11．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．

12．抛掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反面次数的概率为 ．

13．过点
作斜率为1的直线交抛物线
于
两点，则线段
的长度为 ．

14．已知圆C经过点
，且点C在直线
上，则圆C的方程为 ．

15．已知双曲线
的两条渐近线与抛物线
的准线分

别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为
,

则= ．

17．(12分)已知三点
．

（1）求三角形MAB的面积．

（2）经过点M作直线
，若直线
与线段AB总有公共点，求直线
的斜率k和

倾斜角的取值范围．

18．(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数
和

样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中

点值作为代表)；

(2)若该企业已经生产一批此产品10000件，根据直方图给出的数据做出估计，

问这一批产品中测量结果在195—215之间的产品共有多少件？

19．(12分)已知直线
:

圆C:
.

（1）求证：直线
恒过定点，并求出此定点．

（2）若直线
被圆C截得的线段的长度为
，求实数m的值．

20．(13分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线

y＝x2的焦点，离心率为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，

若＝m，＝n，求m＋n的值．

21．如图所示，O为坐标原点，椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e1。双曲线C2：－＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝，且|F2F4|＝－1.

(1)求C1，C2的方程；

孝感高中高二数学（理）期中考试参考答案

16、解：若p为真，则对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立?a＝0或?0≤a<4；

若q为真，则关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根?1－4a≥0?a≤；………6分

如果p真，且q假，有

如果p假，且q真，有

综上，实数a的取值范围为(－∞，0)∪. ………………12分

17、解：（1）由条件可得
,则
的面积为
……6分

（2）由条件可得直线MA的斜率为—1，直线MB的斜率为1，

故直线
的斜率的范围为
，倾斜角

………………12分

18、解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数为＝170×0.02＋180×0.09＋

190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200.

抽取产品的质量指标值的样本方差为s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋

(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.

………………6分

（2）根据直方图给出的数据做出估计，这一批产品中测量结果在195—215之间的产品的概率为
，故该企业已经生产的这一批产品中测量结果在195—215之间的产品共有
件. ………………12分

20、解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1 (a>b>0)．

抛物线方程可化为x2＝4y，其焦点为(0,1)，

则椭圆C的一个顶点为(0,1)，即b＝1.

由e＝＝＝.

得a2＝5，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1. ………………4分

(2)易求出椭圆C的右焦点F(2,0)，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，显然直线l的斜率存在，

设直线l的方程为y＝k(x－2)，代入方程＋y2＝1，

得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0.

∴x1＋x2＝，x1x2＝. ………………7分

又 ＝(x1，y1－y0)，＝(x2，y2－y0)，

＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)．

∵ ＝m＝m， ＝n，∴m＝，n＝， ………………9分

∴m＋n＝，

又2x1x2－2(x1＋x2)＝＝－，

4－2(x1＋x2)＋x1x2＝4－＋＝，

∴m＋n＝10. ………………13分

21．解：(1)因为e1e2＝，所以·＝，即a4－b4＝a4，

因此a2＝2b2，从而F2(b，0)，

(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(－1，0)，故可设直线AB的方程为x＝my－1，

由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.

易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1＋y2＝，y1y2＝. ………………6分

因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，于是AB的中点为M，

故直线PQ的斜率为－，PQ的方程为y＝－x，即mx＋2y＝0.

由得(2－m2)x2＝4，所以2－m2>0，且x2＝，y2＝，

从而|PQ|＝2＝2 .………………8分

设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，

所以2d＝.

因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，

于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝.

又因为|y1－y2|＝＝，所以2d＝.

………………12分

故四边形APBQ的面积S＝|PQ|·2d＝＝2·.

而0<2－m2≤2，故当2－m2=2即m＝0时，S取最小值2.

综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2. ………………14分