一、选择题（共10小题）

1、某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率为（　　）

A．
B．
C．
D．

2、设
,则
的值为（ ）

A．0　　　　 B.—1　　　　 C．1　　　　　 D．

3、对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），则下列说法中不正确的是（ ）

A．由样本数据得到的回归方程
=
x+
必过样本中心（，
）

B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好

D．若变量y和x之间的相关系数为r=﹣0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系

4、在区域
内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

5、某校高二年级有8个班，现有6名学生，分配到其中两个班，每班3人，共有种（ ）方法。

A．280 B．560 C．1120 D．3360

6、把一枚硬币任意抛掷三次，事件A＝“至少一次出现反面”，事件B＝“恰有一次出现正面”，则

P（B|A）＝（ ）

A．
B．
C．
D．

7、某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程
（ ）

零件数x个

10

20

30

40

50



加工时间y（min）

62



75

81

89



表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（ ）

A．68 B．68.2

C．69 D．75

8、执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取

值范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

9、若x∈A，且
，则称A是“伙伴关系集合”．在集合

的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．在数1，2，3，4，5的排列a1，a2，a3，a4，a5中，满足a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4， a4＞a5的排列出现的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（共5小题）　

11、若
展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为　____　．

12、设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）=　_________　．

13、随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ=300，Dξ=200，则p等于　_________　．

14、将7个市三好学生名额分配给5个不同的学校，其中甲、乙两校至少各有两个名额，则不同的分配方案种数有　_________　．

15、一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对手（得0分）的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知该足球队进行一场比赛得分的期望是1，则
的最小值为　____　．

三、解答题（共6小题）

16、（本题12分）用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺次排成一个三位数，此时：

（1）各位数字互不相同的三位数有多少个？

（2）可以排出多少个不同的数？

（3）恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？

17、（本题12分）已知
的展开式中前三项的系数成等差数列．

（1）求n的值；

（2）求展开式中系数最大的项．

18、（本题12分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．

（1）求n的值；

（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．

（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．

19、（本题12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制）（均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．

（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；

（2）从频率分布直方图中，估计本次考试的平均分；

（3）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，在[70，100]记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望．

20、（本题13分）已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为
，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立．假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值；

（1）求随机变量ξ的数学期望；

（2）记“关于x的不等式 ξx2﹣ξx+1＞0的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率P（A）．

21、（本题14分）已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4
，半径小于5．

（1）求直线PQ与圆C的方程；

（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．

二○一四年秋季高二年级期中考试数学（理）答案

17、



解：（Ⅰ）由题设，得
，

即n2﹣9n+8=0，解得n=8，或n=1（舍去）． ------------4分

（Ⅱ）设第r+1的系数最大，则
-----------6分

即
解得r=2或r=3．

所以系数最大的项为T3=7x5，
． -----------12分



18、

解：（1）由题意可得
，∴n=160； --------4分

（2）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，

∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为
=
； ---------8分

（3）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，

由条件
得到的区域为图中的阴影部分

由2x﹣y﹣1=0，令y=0可得x=
，令y=1可得x=1

∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为
=

∴该代表中奖的概率为
=
． ---------12分





19．

解：（Ⅰ）设分数在[70，80）内的频率为x，根据频率分布直方图，则有

（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，可得x=0.3，

所以频率分布直方图如图所示．

--------4分

（Ⅱ）平均分为：
---------8分

（Ⅲ）学生成绩在[40，70）的有0.4×60=24人，

在[70，100]的有0. 6×60=36人，并且X的可能取值是0，1，2．所以X的分布列为：

．

∴EX=0×
+1×
+2×
=
． --------12分





20．

解：（1）由题意知ξ的可能取值为0，2，4， ----------（2分）

∵“ξ=0”指的是实验成功2次，失败2次．

∴p（ξ=0）=
．

“ξ=2”指的是实验成功3次，失败1次或实验成功1次，失败3次．

∴P（ξ=2）=
．

“ξ=4”指的是实验成功4次，失败0次或实验成功0次，失败4次．

∴p（ξ=4）=
，-----------（6分）

∴Eξ=
．

故随机变量ξ的数学期望为
．----------------（7分）

（2）由题意知：“不等式ξx2﹣ξx+1＞0的解集是实数R”为事件A．

当ξ=0时，不等式化为1＞0，其解集是R，说明事件A发生；

当ξ=2时，不等式化为2x2﹣2x+1＞0，

∵△=﹣4＜0，所以解集是R，说明事件A发生；

当ξ=4时，不等式化为4x2﹣4x+1＞0，其解集{x|x
}，

说明事件A不发生．（10分）

∴p（A）=p（ξ=0）+p（ξ=2）=
．-----------（13分）



21.(1)直线PQ的方程为：x＋y－2＝0，设圆心C(a，b)，半径为r，

由于线段PQ的垂直平分线的方程是y－
＝x－
，即y＝x－1，所以b＝a－1.①

又由在y轴上截得的线段长为4
，

知(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2.②

由①②得：a＝1，b＝0或a＝5，b＝4.

当a＝1，b＝0时，r2＝13满足题意，

当a＝5，b＝4时，r2＝37不满足题意，

故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝13. --------6分

(2)设直线l的方程为y＝－x＋m，

A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2)，

由题意可知OA⊥OB，即
·
＝0，

x1x2＋(m－x1)(m－x2)＝0整理得m2－m(x1＋x2)＋2x1x2＝0，

将y＝－x＋m代入(x－1)2＋y2＝13，

可得2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0.

∴x1＋x2＝1＋m，x1x2＝
，

即m2－m·(1＋m)＋m2－12＝0，Δ＝－4(m2－2m－25)>0，

∴m＝4或m＝－3，满足Δ>0，∴y＝－x＋4或y＝－x－3. --------14分