卷Ⅰ

一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）

1．命题“?x∈R，x2－2x＋1＜0”的否定是(　　)

A．?x∈R，x2－2x＋1≥0 B．?x∈R，x2－2x＋1＞0

C．?x∈R，x2－2x＋1≥0 D．?x∈R，x2－2x＋1＜0

2. 已知数列
是等比数列，且
，则
的公比为（ ）

A. B.
C.
D.

3. 已知实数m和2n的等差中项是4,实数2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（ ）

A．2 B．3 C．6 D．9

4. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为(　　)

A.＋＝1 B.＋＝1

C.＋＝1或＋＝1 D.＋＝1

5.下面四个条件中，使
成立的充分而不必要的条件是 （ ）

A.
B.
C.
D.

6．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是(　　)

A. B. C. D.

7.设集合P＝{m|－1＜m＜0}，Q＝{m∈R|mx2＋4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是(　　)

A．P Q　　　　B．Q P C．P＝Q D．P∩Q＝?

8.已知等差数列
的前n项和
=18，若
=1，
，则n的值为(　　)

A．9 B．21 C．27 D．36

9.已知等比数列{an}中，公比q是整数，
，则数列{an}的前8项和

为(　　)

A．514 B．513 C．512 D．510

10. 若实数、满足
，且
的最小值为
，则常数
的值为（ ）

A．2 B．
C．
D．

11. 若a＞0，b＞0且a2＋b2＝1，则a的最大值是(　　)

A. B. C. D.

12. 已知椭圆
+
=1(a>b>0)的离心率e=
,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)在(　　)

A.圆x2+y2=2上 B.圆x2+y2=2内 C.圆x2+y2=2外 D.以上三种情况都有可能

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）．．

13．已知等差数列{an}的公差d≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是__________．

14．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(3－x)＞0，若
是
的充分条件，则实数a的取值范围是________．

15. 已知函数
的值域为
，若关于x的不等式
的解集为
，则实数c的值为 ．

16. 若点O和点F分别为椭圆
+
=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则
·
的最大值为　　　　.

三、解答题（17题10,其余每题12分）

17、已知实数x，y满足设z＝ax＋y(a>0)，若当z取最大值时，

最优解有无数多个，求a的值．

18、已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的

面积为4.求椭圆的方程．

19. p：A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：B＝{x|x2－2mx＋m2≤9，x∈R，m∈R}．

(1)若A∩B＝{|
，∈R}，求实数m的值．

(2)若p是
的充分条件，求实数m的取值范围．

20. 在数列{
}中，其前n项和为Sn ， Sn＋1＝4
＋2，
＝1．

(1)设
，求证数列{bn}是等比数列；

(2)设cn＝
，求证数列{cn}是等差数列；

(3)求数列{
}的通项公式及前n项和的公式.

21. 已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞－2x的解集为 (1,3)．

(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；

(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．

22.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的四个顶点恰好是边长为2一个内角为60°的菱形的

四个顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y＝kx交椭圆C于A，B两点，且在直线

l：x＋y－3＝0上存在点P，使得△PAB为等边三角形，求k的值．

答案：一、CBBCA,CACDD,CB

二、填空题：13、3 14、
15、9 16、6

17、【解】　作出可行域如图所示．

由

得

∴点A的坐标为(5,2)．

由得

∴点C的坐标为C(1,4.4)．---------6分

当直线z＝ax＋y(a>0)平行于直线AC，且直线经过线段AC上任意一点时，z均取得最大值，此时有无数多点使z取得最大值，而kAC＝－，-----------8分

∴－a＝－，即a＝.-------10分

18. 【解】　(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，

得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，

∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.---------6分

(2)法一　a1＝9，d＝－2，

Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n

＝－(n－5)2＋25，

∴当n＝5时，Sn取得最大值．----------12分

法二　由(1)知a1＝9， d＝－2<0，∴{an}是递减数列．

令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.

∵n∈N*，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.

∴当n＝5时，Sn取得最大值．

19．【解】　(1)A＝{x|－1≤x≤3，x∈R}，

B＝{x|m－3≤x≤m＋3，x∈R，m∈R}，

∵A∩B＝[2,3]，

∴m＝5.-------6分

(2)∵p是綈q的充分条件，∴A??RB，∴m－3＞3或m＋3＜－1，∴m＞6或m＜－4.即实数m的取值范围是(－∞，－4)∪(6，＋∞)．-----------12分

20. 解析：(1)由a1＝1，及Sn＋1＝4an＋2，

有a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5，∴ b1＝a2－2a1＝3．

由Sn＋1＝4an＋2 ①，则当n≥2时，有Sn＝4an－1＋2． ②

②－①得an＋1＝4an－4an－1，∴ an＋1－2an＝2(an－2an－1)．

又∵ bn＝an＋1－2an，∴ bn＝2bn－1．∴ {bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．

∴ bn＝3×2 n－1．--------4分

(2)∵ cn＝
，∴ cn＋1－cn＝
－
＝
＝
＝
＝
，

c1＝
＝
，∴ {cn}是以
为首项，
为公差的等差数列．----------8分

＝－1－3×
＋(3n－1)·2n－1＝－1＋3＋(3n－4)·2n－1

＝2＋(3n－4)·2n－1．∴ 数列{an}前n项和公式为Sn＝2＋(3n－4)·2n－1．-----12分

21． (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则不等式f(x)＞－2x化为ax2＋(b＋2)x＋c＞0.因为不等式的解集为(1,3)，所以a＜0
，
＝3，即a＜0，b＝－4a－2，c＝3a.因为方程ax2＋bx＋6a＋c＝0有两个相等的实根，所以Δ＝b2－4a(6a＋c)＝0.把b，c分别代入Δ中，化简得5a2－4a－1＝0，解得a＝－， a＝1(舍去)．所以b＝－，c＝－.所以f(x)的解析式为f(x)＝－x2－x－.------6分

(2)由(1)知a＜0，所以当x＝
时，函数f(x)取得最大值，由题设，得

a(－)2＋b·(－)＋c＞0.代入b，c并整理得a2＋4a＋1＞0.解得a＜－2－或a＞－2＋.又因为a＜0，所以a的取值范围为(－∞，－2－)∪(－2＋，0)．

--12分

22.【解】　解：(1)因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的四个顶点恰好是一边长为2

，一内角为60°的菱形的四个顶点．所以a＝，b＝1，椭圆的方程为＋y2＝1.—4分

(2)设A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)，当直线AB的斜率为0时，AB的垂直平分线就是y轴，

y轴与直线l：x＋y－3＝0的交点为P(0,3)，又因为|AB|＝2，|PO|＝3，

所以∠PAO＝60°，所以△PAB是等边三角形，所以直线AB的方程为y＝0，

当直线AB的斜率存在且不为0时，则直线AB的方程为y＝kx，

所以化简得(3k2＋1)x2＝3，所以|x1|＝，

则|AO|＝＝.设AB的垂直平分线为y＝－x，

它与直线l：x＋y－3＝0的交点记为P(x0，y0)，

所以

解得则|PO|＝，