益阳市箴言中学2014—2015学年高二期中考试数学（文科）试题

（时量120分钟 满分150分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每题只有一项是符合要求的.）

1．命题“
,
”的否定为 ( )

A.
，
B.
，

C.
，
D.
，

2．圆
的半径为 ( )

A. B.
C. D.

3．双曲线
的实轴长为 ( )

A. B.
C. D.

4．已知为椭圆
上一点,
为椭圆的两个焦点，且
,

则
( )

A. B.
C.
D.

5．若抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为 (　　)

A．x2＝－28y B．x2＝28y

C．y2＝－28x D．y2＝28x

6．“
”是“方程
表示圆”的 ( )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

7．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是 (　 )

A．π－1 B. －1 C．π D．π＋1

8．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，

比例系数为k (k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部

放贷出去．若存款利率为x (x∈(0,0.048))，则存款利率为多少时，

银行可获得最大利益 (　　)

A．0.012 B．0.024 C．0.032 D．0.036

9. 如图所示为y=f ′(x)的图像，则下列判断正确的是 ( )

①f(x)在(－∞, 1)上是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；

③f(x)在(2, 4)上是减函数，在(－1, 2)上是增函数；

④x＝2是f(x)的极小值点

A、①②③ B、①③④

C、③④ D、②③

10. 已知椭圆
，
为坐标原点. 若
为椭圆上一点，且在轴右侧，

为轴上一点，
，则点
横坐标的最小值为 （ ）

A.
B.
C. D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）

11. 命题“若
，则
”的否命题是

12．抛物线x2＋12y＝0的焦点到其准线的距离是

13. 双曲线
渐近线方程为

14．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则m的取值范围是

15. 设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，

当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，

则不等式f(x)g(x)<0的解集是

三、解答题（本大题共6小题，满分75分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）

16．(12分)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立，

命题q：指数函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，

求实数a的取值范围．

17．(12分)双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦点，直线y＝x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．

19. (13分)已知直线l1为曲线y＝f(x)＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，

l2为该曲线的另外一条切线，且l1⊥l2.

（Ⅰ ）求直线l1的方程；

（Ⅱ ）求直线l2的方程和由直线l1、l2及x轴所围成的三角形的面积．

20．(13分)已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．

（Ⅰ ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ ）当x>1时，x2＋lnx<x3是否恒成立，并说明理由．

21．(13分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点

恰好是抛物线y＝x2的焦点，离心率为.

（Ⅰ ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，

交y轴于点M，若＝m，＝n，求m＋n的值．

文科数学参考答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



A

B

C

C

D

B

C

B

D

B



11.若
，则
. 12． 6 13. y＝±x

14． 15．(－∞，－3)∪(0,3)

16．(12分) a的取值范围为{a|1≤a<2或a≤－2}．

17．(12分) 双曲线C的方程为x2－＝1.

18．(12分) m＝4. f(x)极小值=f(2)＝－.

19．(13分)　(1)直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3. ………………4分

(2)直线l2的方程为y＝－x－.即3x＋9y＋22＝0. ………………5分

解方程组，可得.

因为直线l1、l2与x轴的交点坐标分别为(1,0)、，

所以所求三角形的面积为S＝××＝. ……………4分

20．(13分)(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由题意得f′(x)＝x－(x>0)，

∴当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．

当a>0时，f′(x)＝x－＝＝.

∴当0时，f′(x)>0.

∴当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，

单调递减区间为(0，)．……………………………6分

(2)设g(x)＝x3－x2－lnx(x>1) 则g′(x)＝2x2－x－.

∵当x>1时，g′(x)＝>0，

∴g(x)在(1，＋∞)上是增函数．

∴g(x)>g(1)＝>0. 即x3－x2－lnx>0，∴x2＋lnx<x3，

故当x>1时，x2＋lnx<x3恒成立．………………………………7分

21. (13分)(1)设椭圆C的方程为＋＝1 (a>b>0)．

抛物线方程可化为x2＝4y，其焦点为(0,1)，

则椭圆C的一个顶点为(0,1)，即b＝1.

由e＝＝＝.

得a2＝5，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1. ……………………………… 5分

(2)易求出椭圆C的右焦点F(2,0)，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为

y＝k(x－2)，代入方程＋y2＝1，

得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0.显然△>0

∴x1＋x2＝，x1x2＝. …………………………………………… 4分

又 ＝(x1，y1－y0)，＝(x2，y2－y0)，

＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)．

∵ ＝m＝m， ＝n，

∴m＝，n＝，

∴m＋n＝，

又2x1x2－2(x1＋x2)＝

＝－，

4－2(x1＋x2)＋x1x2

＝4－＋＝，

∴m＋n＝10. …………………………………………………………………… 4分