益阳市箴言中学2014—2015学年高二期中考试数学（理科）试题

时间：120分钟 总分150分

一、选择题：（本大题8小题，每小题5分）

1．给出命题：p：3≥1；q：4∈{1，3}，则在下列三个复合命题：“p且q”；“p或q”；“非p”中，真命题的个数为 （　　）

A 0 B 2 C 3 D 1

2．全称命题“所有被7整除的整数都是奇数”的否定 （　　）

A 存在一个被7整除的整数不是奇数 B 存在一个奇数，不能被7整除

C 所有被7整除的整数都不是奇数 D 所有奇数都不能被7整除

3．函数
，则
（ ）

A
B 2 C 1 D

4．与向量
平行的一个向量的坐标是 （ ）

A （
，1，1） B （－1，－3，2） C （－
，
，－1） D （
，－3，－2
）

5．双曲线3mx2－my2＝3的一个焦点是(0,2)，则m的值是 (　 　)

A －1　　　　　　　B 1 C － D 

6． “m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的 (　 　)

A 充分而不必要条件 B 充分必要条件

C 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件

7.设函数
在定义域内可导，
的图象如图1所示，则导函数
可能为 （　　）

8．如图正方体A1B1C1D1－ABCD的侧面AB1内有动点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在的曲线的形状为 (　 )

二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分）

9.已知向量
，
，
，则向量
的坐标为　　　　　.

10．平面向量a、b都是非零向量，a·b<0是a与b夹角为钝角的________条件．

11．抛物线y2＝8x的焦点坐标是________．

12．已知A、B、C三点的坐标分别为A（1，2，3），B(2，
，1)，C(3，
，
)若
,则
= 。

13．函数
的单调递增区间是 ．

14．若曲线
与
在
处的切线互相垂直，则
等于 ．

15．过抛物线y2＝4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于P，Q两点，O为坐标原点，则△POQ的面积等于__________．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分）

16．（本小题满分12分）已知命题p：x2－5x＋6≥0；命题q：0

17.（本小题满分12分）．已知直线x＋y－1＝0与椭圆x2＋by2＝相交于两个不同点，求实数b的取值范围．

18.（本小题满分12分）一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？

19、（本小题满分12分）如图，正方体
的棱长

为，为棱
的中点.

（1）求
与
所成角的大小；

（2）求证
平面
.

20、（本小题满分13分）设函数
为实数。

（Ⅰ）已知函数
在
处取得极值，求的值；

（Ⅱ）已知不等式
对任意
都成立，求实数的取值范围。

21．（本小题满分13分）如图，在以点O为圆心，|AB|＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°.曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

(2)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E，F. 若△OEF的面积不小于2，求直线l斜率的取值范围

数学（理科）答案

时间：120分钟 总分150分

一、选择题：（本大题12小题，每小题5分）

DAAC A BDC

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分）

9.（ 16,0,-19）10．必要不充分 11. (2,0) 12．
13．
14．（
） 15． 2

三、解答题：（本大题共6小题，共70分）

16 答案： 由x2－5x＋6≥0得x≥3或x≤2.

∵命题q为假，∴x≤0或x≥4.

则{x|x≥3或x≤2}∩{x|x≤0或x≥4}＝{x|x≤0或x≥4}．

∴满足条件的实数x的范围为(－∞，0]∪[4，＋∞)．

17解　由得(4b＋4)y2－8y＋1＝0.

因为直线与椭圆相交于不同的两点，

所以，解得b＜3，且b≠－1.

又方程x2＋by2＝表示椭圆，所以b＞0，且b≠1.

综上，实数b的取值范围是{b|0＜b＜3且b≠1}．

18. 解：设轮船速度为x千米/时（x＞0），每小时的燃料费用为Q元，则Q=kx3.由6=k×103可得
，所以
，∴轮船行驶中每千米的总费用
，

.令y′=0得x=20.当x∈（0，20）时，y′＜0，此时函数单调递减； 当x∈（20，+∞）时，y′＞0，此时函数单调递增，∴当x=20时，y取得最小值，因此当轮船以20千米/时的速度航行时，行驶每千米的费用总和最小，为
元．

19、(1) 60°（2）略

20、解: （Ⅰ）
，由于函数
在
时取得极值，所以
， 即
．

（Ⅱ）方法一：由题设知：
对任意
都成立， 即
对任意
都成立．

设
, 则对任意
，
为单调递增函数
．

所以对任意
，
恒成立的充分必要条件是
．

即
，
于是的取值范围是
．

方法二：由题设知：
对任意
都成立

即
对任意
都成立．

于是
对任意
都成立，即
．
．

于是的取值范围是
．

21． 解　(1)以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)，D(0,2)，P(，1)，依题意得

||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＝－ 

＝2<|AB|＝4，

∴曲线C是以原点为中心，A，B为焦点的双曲线．

设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，

则c＝2,2a＝2，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2.∴曲线C的方程为－＝1.

(2)依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理得(1－k2)x2－4kx－6＝0.①

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴?

∴k∈(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．②

设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则由①式得x1＋x2＝，x1x2＝－，于是

|EF|＝＝＝·

＝·.

而原点O到直线l的距离d＝，

∴S△OEF＝d·|EF|＝···＝.

若△OEF面积不小于2，即S△OEF≥2，则有

≥2?k4－k2－2≤0，解得－≤k≤③

综合②③知，直线l的斜率的取值范围为[－，－1)∪(－1,1)∪(1，]．