安徽省广德中学2013-2014年学度高二第二学期期中考试数学（理）试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．
（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 函数
在
处的切线方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．
等于 （ ）

A. 1 B. e - 1 C. e D. e + 1

4.已知x>0，由不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，我们可以得出推广结论：x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝(　 　)

A．2n　　　 B．n2 C．3n D．nn

5. 设
则
（ ）

A.都不大于
B.都不小于

C .至少有一个不大于
D.至少有一个不小于

6. 函数
的一个单调递增区间是（ ）

A．
B.
C.
D.

7. 从不同号码的
双鞋中任取只，其中恰好有双的取法种数为(　　)

A．
B．
C．
D．

8．由抛物线y＝x2－x，直线x＝－1及x轴围成的图形的面积为(　　)

A. B．1

C. D.

9．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（　　）

A．



B．



C．



D．





10.在
中任取个数
且满足
共有多少种不同的方法（ ）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11.如图，是一个质点做直线运动的v—t图象，则质点在前6 s内的位移为________m.

12． 形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为________．

13.已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为_ _____．

14.从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为________．

15.若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，且
在I上是减函数，则称y=f（x）在I 上是“弱增函数”．已知函数h（x）=x2﹣（b﹣1）x+b在（0，1]上是“弱增函数”，则实数b的值为

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16（12）在△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边长，z1＝a＋bi，z2＝cos A＋icos B．若复数z1·z2在复平面内对应的点在虚轴上，试判断△ABC的形状．

17．（12）已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，直线l1：x＝2，直线l2：y＝－t2＋8t(其中0≤t≤2，t为常数)，若直线l1，l2与函数f(x)的图象以及l1、l2、y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示．

(1)求a、b、c的值；

(2)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式．

18.（12） 已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．

（1）求实数a，b的值；

（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．

19．（12）某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？

20.（13）一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①，②，③，④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照如此规律，第步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为
．

① ② ③ ④

（1）求出
，
，
，
的值；

（2）利用归纳推理，归纳出
与
的关系式；

（3）猜想
的表达式，并写出推导过程．

21．（14）已知函数f（x）=ax（a∈R），g（x）=lnx﹣1．

（1）若函数h（x）=g（x）+1﹣
f（x）﹣2x存在单调递减区间，求a的取值范围；

（2）当a＞0时，试讨论这两个函数图象的交点个数．

数学（理）答案

一、选择题：

1 B 2 A 3 B 4 D 5 C 6 A 7 A 8 B 9 D 10 B

二、填空题：

11. 9 12．16 13. cn＋1

15. 1

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16 (12分) 由题意知z1·z2＝(a＋bi)·(cos A＋icos B)＝(acos A－bcos B)＋(acos B＋bcos A)i，

所以acos A－bcos B＝0，且acos B＋bcos A≠0，

∴2A＝2B，或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝.

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形

17．(12分) 【解析】(1)由图形可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f(x)的最大值为16，则

解得
6分

∴函数f(x)的解析式为f(x)＝－x2＋8x.
7分

(2)由得x2－8x－t(t－8)＝0，

∴x1＝t，x2＝8－t，

∵0≤t≤2，∴直线l2与f(x)的图象的交点坐标为(t，－t2＋8t)由定积分的几何意义知：

S(t)＝[(－t2＋8t)－(－x2＋8x)]dx＋[(－x2＋8x)－(－t2＋8t)]dx

＝[(－t2＋8t)x－(－＋4x2)]＋[(－＋4x2)－(－t2＋8t)x]

＝－t3＋10t2－16t＋.

18. (12分)解：（1）∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），∴a+b=4①式 …（1分）

f'（x）=3ax2+2bx，则f'（1）=3a+2b…（3分）

由条件
②式…（5分）

由①②式解得a=1，b=3

（2）f（x）=x3+3x2，f'（x）=3x2+6x，

令f'（x）=3x2+6x≥0得x≥0或x≤﹣2，…（8分）

∵函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增

∴[m，m+1]?（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝）

∴m≥0或m+1≤﹣2

∴m≥0或m≤﹣3

19．(12分) 【解析】用1、2、3、4、5、6表示广告的播放顺序，则完成这件事有三类方法．

第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2、4、6.分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．

第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、4、6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．

第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、3、6，同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．分

由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有36＋36＋36＝108种

(n?1)[1+(n?1)]



2



20. (13分)解：（1）图①中只有一个小正方形，得f（1）=1； 图②中有3层，以第3层为对称轴，有1+3+1=5个小正方形，得f（2）=5；图③中有5层，以第3层为对称轴，有1+3+5+3+1=13个小正方形，得f（3）=13；图④中有7层，以第4层为对称轴，有1+3+5+7+5+3+1=25个小正方形，得f（4）=25；图⑤中有9层，以第5层为对称轴，有1+3+5+7+9+7+5+3+1=41个小正方形，得f（5）=41；（2）∵f（1）=1； f（2）=5；f（3）=13；f（4）=25；f（5）=41；∴f（2）-f（1）=4=4×1；∴f（3）-f（2）=8=4×2；∴f（4）-f（3）=12=4×3；∴f（5）-f（4）=16=4×4；…∴f（n）-f（n-1）=4×（n-1）=4n-4．∴f（n+1）与f（n）的关系式：f（n+1）-f（n）=4n．（3）猜想f（n）的表达式：2n2-2n+1．由（2）可知f（2）-f（1）=4=4×1；f（3）-f（2）=8=4×2；f（4）-f（3）=12=4×3；f（5）-f（4）=16=4×4；…∴f（n）-f（n-1）=4×（n-1）=4n-4．将上述n-1个式子相加，得f（n）=4（1+2+3+4+…+（n-1））=4×

=2n2-2n+1．

f（n）的表达式为：2n2-2n+1．

21．(14分)

解：（1）h（x）=lnx﹣
﹣2x（x＞0），

h′（x）=
﹣ax﹣2．

若使h（x）存在单调递减区间，则h′（x）=
﹣ax﹣2＜0在（0，+∞）上有解．

而当x＞0时，
﹣ax﹣2＜0?ax＞
﹣2?a＞
﹣
问题转化为

a＞
在（0，+∞）上有解，故a大于函数
在（0，+∞）上的最小值．

又
=
﹣1，
在（0，+∞）上的最小值为﹣1，所以a＞﹣1．

（2）令F（x）=f（x）﹣g（x）=ax﹣lnx+1（a＞0）

函数f（x）=ax与g（x）=lnx﹣1的交点个数即为函数F（x）的零点的个数．

F′（x）=a﹣
（x＞0）

令F（x）=a﹣
=0解得x=
．

随着x的变化，F（x），F（x）的变化情况如表：

当F（
）=2+lna＞0，即a=e﹣2时，F（x）恒大于0，函数F（x）无零点．

②当F（
）=2+lna=0，即a=e﹣2时，由上表，函数F（x）有且仅有一个零点．

③F（
）=2+lna＜0，即0＜a＜e﹣2时，显然1＜

F（1）=a+1＞0，所以F（1）F（
）＜0?，

又F（x）在（0，
）内单调递减，

所以F（x）在（0，
）内有且仅有一个零点

当x＞
时，F（x）=ln

由指数函数y=（ea）x（ea＞1）与幂函数y=x增长速度的快慢，知存在x0＞

使得
从而F（x0）=ln

因而F（
）?F（x0＜0）

又F（x）在（
，+∞）内单调递增，

F（x）在[
，+∞）上的图象是连续不断的曲线，

所以F（x）在（
，+∞）内有且仅有一个零点．

因此，0＜a＜e﹣2时，F（x）有且仅有两个零点．

综上，a＞e﹣2，f（x）与g（x）的图象无交点；

当a=e﹣2时，f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点；

0＜a＜e﹣2时，f（x）与g（x）的图象有且仅有两个交点．