第Ⅰ卷 （选择题 共60分）

选择题（每题只有一个正确答案，5分×12=60分）

1．设平面的法向量为(1，2，－2)，平面
的法向量为(－2，－4，k)，若∥
，则k的值为( )

A．3 B．4 C．5 D．6

2．
( )

A.
B.
C.
D.

3．在z轴上与点A(－4，1，7)和点B(3，5，－2)等距离的点C的坐标为（ ）

A.(0，0，1) B.(0，0，2) C.(0，0，
) D.(0，0，
)

4．若直线
的方向向量为
，平面的法向量为
，则能使
//的是( )

A.
=
，
=
B.
=
，
=

C.
=
，
=
D.
=
，
=

5．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x0，使
<0.下列选项中为真命题的是( )

A． p B．q C． p∨q D． q∧p

6．设函数
在上可导，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．以上都不对

7．若，，
不共线，对于空间任意一点
都有
，则，，，
四点（ ）

A．不共面 B．共面 C．共线 D．不共线

8．已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是( )

A．
B．
C．
D．

9．已知
，则
的最小值为 （ ）

A．
B．
C．
D．

10．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60o，且A1A=3，则A1C的长为（ ）

A．
B．
C．
D．



11．若
的值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

12.若
在区间
上有极值点,则实数取值范围( )

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

填空题（5分×4=20分）

13．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若
＝
，
＝
，
＝
，则
＝________.

14．命题“
”的否定是_________________.

15．用反证法证明“
可被5整除，那么
中至少有一个能被5整除”，则假设内容是_______________________________.

16．函数
的极小值是 .

解答题（12分+12分+10分+12分+12分+12分=70分）

17．实数m取什么值时，复数z＝m＋1＋(m－1)i是：

(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．

18．如图，四棱锥
的底面为正方形，
底面
,
，、分别为底边
和侧棱
的中点．

（1）求证：
∥平面
；

（2）求证：
平面
；

（3）求二面角
的余弦值．

19．如图，正三棱柱
中，点
是
的中点，

（Ⅰ）求直线
与平面
所成角的正弦；

（Ⅱ）求异面直线
与
的距离.

20．已知曲线的极坐标方程是
，直线
的参数方程是
（t为参数），设直线与轴的交点是
,
是曲线上一动点,

⑴求曲线
与直线的普通方程;

⑵求
的最大值.

21．如图,在长方体
中,
点在棱
上.

（1）求异面直线
与
所成的角；

（2）若二面角
的大小为
,求点到平面
的距离.

22．已知函数
（为常数）．

（1）若
是函数
的一个极值点，求的值；

（2）当
时，试判断
的单调性；

（3）若对任意的

，使不等式
恒成立，求实数的取值范围．

巴彦淖尔市第一中学2013-2014学年第二学期期末考试

高二年级理科数学试题答案

选择题

三、解答题

17.解：(1) m＝1 (2) m≠1 (3) m＝－1

18.解：（1）取
的中点，连接
，
.

因为，分别是
，
的中点，

所以
是△
的中位线.

所以
∥
，且
．

又因为是
的中点，且底面
为正方形，

所以
，且
∥
.所以
∥
，且
．

所以四边形
是平行四边形．所以
∥
．

又
平面
，
平面
，所以
∥平面
．

（2）因为
为正方形，所以
，又因为
底面

所以
两两垂直.

以点为原点，分别以
为
轴，

建立空间直角坐标系（如图）．



（3）易得
，
．

设平面
的法向量为
，则

，所以
即

令
，则
．

由（2）可知平面
的法向量是
，

所以
.

由图可知，二面角
的大小为锐角，

所以二面角
的余弦值为
．

19.解：（1）设
为
中点，连接

因为
为
中点.所以
∥
.

又因为
为正三棱柱

所以
底面
，

所以
互相垂直

以点
为原点，分别以
为
轴

建立空间直角坐标系

因为

则，
，
，
，
，
，

易知
,
,

设平面
的法向量为

可得

所以
=

所以直线
与平面
所成角的正弦的值为

（2）由（1）知
，

设直线
与
的公垂线方向向量为

解得

所以

21.解：解法一:(1)连结
.由
是正方形知
.

∵
平面
,

∴
是
在平面
内的射影.

根据三垂线定理得
,

则异面直线
与
所成的角为
.

(2)作
,垂足为,连结
,则
.

所以
为二面角
的平面角,
.于是
,

易得
,所以
,又
,所以
.

设点到平面
的距离为
,则由于
即
,

因此有
,即
,∴
. ..

解法二:如图,分别以
为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系.

(1)由
,得
,

设
,又
,则
.

∵
∴
,则异面直线
与
所成的角为
.

(2)
为面
的法向量,设
为面
的法向量,则

,

∴
.①

由
,得
,则
,即
,∴
②

由①、②,可取
,又
,

所以点到平面
的距离
.

22.解：（1）由已知得：
，∴
，∴
．

（2）当
时，
，

因为
，所以
，而
，即
，

故
在
上是增函数．