上饶市2013—2014学年度下学期期末测试高二数学（理科）

试卷答案及评分标准

一、选择题：共10小题，每小题5分，满分50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

A

B

D

C

A

D

C

B





二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．

11. 9 12.
13. 11 14. 1 15. 40

三、解答题：共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．解：（1）

…………………………………………………………………………3分

令

解得
……………………………………………………………5分

∴
的递增区间为
……………………………………6分

（2）由
，而
,所以
，

∴
，得
……………………………………………………………8分

∵向量
与向量
共线，∴
，

由正弦定理得:
　　①……………………………………………………………9分

由余弦定理得:
，即
　②………………11分

由①②解得
，
…………………………………………………………12分

17．解：（1）甲乙两班物理样本成绩的中位数分别是72，70；……………………………………2分

（2）
（分）………………3分

（分）

∴甲乙两班物理样本成绩的平均值分别是71分、70分………………………………………4分

（3）ξ的可能取值为0、1、2、3、4，甲、乙两班各有5个优秀成绩，故从甲班中抽取一个成绩是优秀成绩的概率为
，从乙班中抽取一个成绩是优秀成绩的概率也为
……………5分

，

，

……………………………………………………………………10分

ξ

0

1

2

3

4



P













∴ξ的分布列为

………………………12分

18．解：（1）
，
平面

平面

∵平面
平面
，
，∴
平面
，同理
平面
，∴
∥
，又∵
平面
,

平面
,
，

∴平面
平面
，又
平面
，

∴
平面
……………4分

（2）分别以
为
轴建立坐标系，

则
，
，
，
，
，

∴
，
，设平面
的法向量为
，

则有
，令
，得
，而平面AOMC的法向量为：
，

即平面ACN与平面AOMC所成角的余弦值为
………………8分

（3）
，由（2）知平面
的法向量为：
，

∴点M到平面CAN的距离
……………………12分

19．解：（1）因为
成等差数列，

所以
，…………………………………………2分

即
，所以
，因为
，所以
，……………4分

所以等比数列
的通项公式为
；………… 6分

（2）
，
…………………………………8分

………

……… …………10分

-得

……………………12分

20．解：（1）由已知可得：
，
，

∴
，…………………………………2分

又由已知得：
，∴
，

∴椭圆
的方程为
，……………………………………………………………5分

（2）设
、
、
，则因
重心是原点可得：

，

∴
，
………………………………………………………6分

当直线
的斜率不存在时，
或
，此时
………………………………………7分

当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
，

由
可得：
，

∴
……………………………………………………8分

∴

∵
在椭圆上，∴

∴
，
，

∴
，……………………………………………………………………………10分

而

点
到直线
的距离是

∴

综上所述，
的面积是定值．…………………………………………………………13分

(注: 以上
改为
)

21．解：（1）当
时，函数
，则

………………………………2分

∴
在
上递增，
………………………………………4分

（2）
，………………………………………………5分

∵
在
上递增，∴
在
上恒成立，

∴
在
上恒成立，

即
，而
，
在
上递减，

当
时，
，

∴
…………………………………………………………………………………………8分

（3）
的定义域为
，

∵函数
有两个极值点
、
，∴
、
是方程
的两根，

∴
，
，且
，
，………………………10分

∴

……………………………………………12分

令
)

∴
在
上单调递减，

∴
……………………………………14分