满分：150分 考试时间：120分钟

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个正确．每小题5分，共50分）

1．复数
，则
等于 （ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知命题p：?x∈R,2x<3x；命题q：?x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是 (　 )

A．p∧q B．p∧q C． p∧q D． p∧q

3．若函数
在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是 (　 )

A．[1，＋∞) B．[1，) C．[1,2) D．[，2)

4． 下列四个几何体中，几何体只有正视图和侧视图相同的是 (　 　)



A．①②　　 B．①③ C．①④ D．②④

5．已知、
是异面直线，平面，
平面
，则、
的位置关系是 （ ）

A．相交 B．平行 C．重合 D．不能确定

6．设椭圆的两个焦点分别为F
,F
，过F
作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F
F
P为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

7.如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平

面图形的直观图，则原图形的周长是 (　 　)

A．6 B．8 C．2＋3 D．2＋2

8．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c

三向量共面，则实数λ等于 (　 　)

A. B. C. D.

9．设离心率为的双曲线C：
的右焦点为F，直线
过焦点F，

且斜率为
，则直线
与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知正三棱锥P—ABC的高PO的长为
，点D为侧棱PC的中点，PO与BD所成

角的余弦值为
，则正三棱锥P—ABC的体积为 （ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中横线上）

11．计算定积分
的值为 。

12．如图：长方体ABCD—A
B
C
D
中，AB=3，

AD=AA
=2，E为AB上一点，且AE=2EB，F

为CC
的中点，P为C
D
上动点，当EF⊥CP时，

PC
= ．

13．已知过球面上
三点的截面和球心

的距离为球半径的一半，且
，则球的表面积为 .

14．已知
表示三条不同的直线，
表示三个不同的平面，有下列四个命题：

①若
，
，且
，则
；

②若
相交，且都在
外，
，则
；

③若
，则
；

④若
，则
。

其中正确命题的序号是 。

三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题5分

15．（1）在平面直角坐标系xoy中，直线
的参数方程

为
（参数
），圆C的参数方程为
（参数
），直线
交圆C于A、B两点，则
.

（2）不等式
的解集不是空集，则实数的最小值为

四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤）

16．（本小题满分12分）已知向量
，设函数
＋1

（Ⅰ）若
，
,求
的值；

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是
，且满足
，求
的取值范围．

17．（本小题满分12分）如图四棱锥P—ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N为侧棱PC上的三等分点。

（Ⅰ）证明：AN∥平面MBD；

（Ⅱ）求三棱锥N—MBD的体积。

18（本小题满分12分）斜三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长为，侧棱与底面所成的角为60o，且侧面ABB1A1垂直于底面。

（Ⅰ）判断B1C与AC1是否垂直，并证明你的结论；

（Ⅱ）求三棱柱的全面积。

19（本小题满分12分）如下图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.

（Ⅰ）求异面直线AD1与BD所成的角的余弦值；

（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．

20（本小题满分13分）设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点与抛物线：x2＝4 y的焦点重合，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率e＝，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在直线l，使得·＝－1，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分14分）已知函数
在点
处的切线方程为
．

（Ⅰ）求
的表达式;

（Ⅱ）若
满足
恒成立,则称
是
的一个“上界函数”,如果函数
为
（
R）的一个“上界函数”,求t的取值范围;

（Ⅲ）当
时,讨论
在区间（0,2）上极值点的个数．

高二数学（理）参考答案

一．选择题：BCBDA DBDCC

二．填空题

11．； 12．2； 13．
； 14．②③

三．选做题：（1）
； （2）2。

四．解答题

16．解：（1）

，∵
,∴
；

又∵
，∴
，即

（2）由
得

可得

∴
，即

∴

19．解：(1)易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图2，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

设AB＝t，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．从而
＝(－t,3，－3)，
＝(t,1,0)，
＝(－t,3,0)．

因为AC⊥BD，所以
·
＝－t2＋3＋0＝0.

解得t＝或t＝－(舍去)．

∴
=
，而

于是
＝(－，3，－3)，
＝(，1,0)．

(2)由(1)知，
＝(0,3,3)，
＝(，1,0)，
＝(0,1,0)．

设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则

即令x＝1，则n＝(1，－，)．

设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则

sinθ＝|cos〈n，
〉|＝||＝＝.

即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.

20．解　(1)椭圆的顶点为(0，)，即b＝.e＝＝ ＝，解得a＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)由题可知，直线l与椭圆必相交．

①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．

②设存在直线l为y＝k(x－1)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由得(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0.

x1＋x2＝，x1·x2＝，

·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]

＝＋k2＝＝－1.

所以k＝±，故直线l的方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1)．

21、（1）a=1 b=0 3分

（2）∵
恒成立 ∴
恒成立，

，
， ∴当
，

∴
的最小值为
，∴
8分

（3）
，令
=0，得

当
时，
，
为
在区间（0,2）上的极大值点

当
时，
，
为
在区间（0,2）上的极值点

当
时，
在区间（0,2）上无极值点

当
时，
，
为
在区间（0,2）上的极值点

当
时，
，
为
在区间（0,2）上的极大值点

当
时，
，
为
在区间（0,2）上的极大值点

由以上可知：当
或
时，
在区间（0,2）上有两个极值点

当
或
时，
在区间（0,2）上有一个极值点；

当
时，
在区间（0,2）上无极值点 14分