安庆市第九中学2014-2015学年高二上学期分班考试

数学试题

一、单项选择题(每题5分，共50分)

1．如果一个三角形的平行投影仍然是一个三角形，则下列正确的是( )．

A．原三角形的内心的平行投影还是投影三角形的内心B．原三角形的重心的平行投影还是投影三角形的重心

C．原三角形的垂心的平行投影还是投影三角形的垂心

D．原三角形的外心的平行投影还是投影三角形的外心

2．下列做法可以使旗杆与水平地面垂直的是(　　)

①过旗杆底部在地面上画一条直线，使旗杆与该直线垂直；

②过旗杆底部在地面上画两条直线，使这两条直线垂直；

③在旗杆顶部拴一条长大于旗杆高度的无弹性的细绳，拉紧在地面上找三点，使这三点到旗杆底部的距离相等．

A．①② B．②③ C．只有③ D．只有②

3．若函数
的零点
，
，则所有满足条件的
的和为________

A.1 B.-1 C.2 D.-2

4．A，B为球面上相异两点，则通过A，B两点可作球的大圆有( )．

A．一个 B．无穷多个 C．零个 D．一个或无穷多个

5．给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中为真命题的是(　　)

A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④

6、若集合
，
，
，且
，则满足条件的整数对
的个数为(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

7．已知函数
满足对任意
，都有
，则实数
取值的范围是(　　)

A.
B.
C.
D.

8、半圆的直径
，
为圆心，
为半圆上不同于
、
的任意一点，若点
为半径
上的动点，则
的最小值为(　　)

A.
B.
C.
D.

9．若
，
，
．则下列不等式：①
②
③
④
.其中成立的是(　　)．

A. ①③ B. ①③④ C.①② D.①②④

10．下列几种说法正确的是 (　　)

①函数
的递增区间是
；

②函数
，若
，则
；

③函数
的图象关于点
对称；

④将函数
的图象向右平移
个单位，得到函数
的图象；

⑤在同一平面直角坐标系中，函数
的图象和直线
的交点个数是1个

A. ①②③④⑤ B.②③④⑤ C. ②⑤ D.①③

二、填空题（每题6分，共36分）

11.有一座灯塔
,观察到海上有两艘轮船,甲船位于灯塔
的正东方向的
处向北航行;乙船位于灯塔
的北偏西
方向的
处向北偏东
方向航行,甲船行驶5海里,乙船行驶8海里后在点
处相遇,则点
处距灯塔
为___________海里

12.在△ABC中，A
C=2B，则

13．设
是偶函数，其定义域为
，且在
内是增函数，又
，则
的解集是

14．一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积是 ．

15．已知函数
的图象过点
，若有4个不同的数
满足
，且
，则
等于

16.已知函数
在
上是增函数，则a的取值范围是 .

三、解答题（共64分）请将解答填写在答题卡规定的区域内，否则答题无效. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．(本小题满分12分)已知函数
，且

(1)求
的最小正值及此时函数
的表达式；

(2)在(1)的前提下，设
，

①求
的值；

②求
的值．

18、(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，
为坐标原点，已知
，
，
，
，其中

(1)若
，且
，求向量
；

(2)若
，当
为大于4的某个常数时，
取最大值4，求此时
与
夹角的正切值．

19．（本小题满分12分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本
（元）与月处理量
（吨）之间的函数关系可近似的表示为：
，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．

（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

20. (本小题满分14分)数列
中,
.

⑴求证
是等比数列;

⑵若
,
,求数列
的通项公式;

⑶若
,求数列
的前
项和

21．(本小题满分14分)已知函数
(
)是偶函数．

(1)求k的值；

(2)若函数
的图象与直线
没有交点，求b的取值范围；

(3)设
，若函数
与
的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围

数学参考答案

三、解答题（共64分）请将解答填写在答题卡规定的区域内，否则答题无效. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(12分)(1) 因为
，所以
， ----------------1分

于是
，即
，

故当k=0时，
取得最小正值1. ----------------------3分

此时
. `? -----------------------4分

(2)因为
，

所以
.

因为

所以
.

于是
-------------------7分

①因为
，

所以

---------------9分

②因为

所以
--------------12分

18、（本小题满分12分）

解（1）
……2分

错误！不能通过编辑域代码创建对象。
(1)

(2)

(1)代入(2)得 错误！不能通过编辑域代码创建对象。

∴


； 错误！不能通过编辑域代码创建对象。，

∴
或
……5分

(2)错误！不能通过编辑域代码创建对象。

∥
(
)·错误！不能通过编辑域代码创建对象。 ……7分

∵
∴
∴错误！不能通过编辑域代码创建对象。时

此时
错误！不能通过编辑域代码创建对象。 ……10分

此时

故错误！不能通过编辑域代码创建对象。，
，
……12分

19．解（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：

……………………………………4分

，

当且仅当
，即
时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为
元．…………………8分

（2）设该单位每月获利为
,

则
…………………………9分

因为
，所以当
时，
有最大值
．

故该单位不获利，需要国家每月至少补贴
元，才能不亏损．………12分

所以当
时，

将以上格式相加得

………8分

又

又
也满足上式
………9分

（3）
………10分

设
，则

………13分

………14分

21．(本小题满分14分)已知函数
(
)是偶函数．

(1)求k的值；

(2)若函数
的图象与直线
没有交点，求b的取值范围；

(3)设
，若函数
与
的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围

21.(14分) (1)因为
为偶函数，

所以
，

即
对于
恒成立.

于是
恒成立,

而x不恒为零，所以
. -----------------------3分

(2)由题意知方程
即方程
无解.

令
，则函数
的图象与直线
无交点.

因为

任取
、
R，且
，则
，从而
.

于是
，即
，

所以
在
上是单调减函数.

因为
，所以
.

所以b的取值范围是
----------------------- 8分

(3)由题意知方程
有且只有一个实数根．

令
，则关于t的方程
(记为(*))有且只有一个正根.

若a=1，则
，不合, 舍去；

若
，则方程(*)的两根异号或有两相等正跟.

由
或－3；但
，不合，舍去；而
；

方程(*)的两根异号

综上所述，实数
的取值范围是
． ----------------- 14分