北京市西城区2013-2014学年下学期高二年级期末考试

数学试卷（文科）

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 设集合
，则
＝（ ）

A. U B. {2，4} C. {1，3，5} D. {1，2，4}

2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）

A.
B.
C.
D.

3. 已知
是等比数列，
，则公比q等于（ ）

A.
B.
C. 2 D. 4

4. 命题“对任意实数x，都有x>1”的否定是（ ）

A. 对任意实数x，都有x<1 B. 不存在实数x，使x≤1

C. 对任意实数x，都有x≤1 D. 存在实数x，使x≤1

5. “
”是“函数
在区间
上为增函数”的（ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 已知
，则（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 函数
的图象可能是（ ）

A B C D

8. 设函数
，则
的极小值点为（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 已知数列
的前n项和
，那么数列
（ ）

A. 是等差数列但不是等比数列

B. 是等比数列但不是等差数列

C. 既是等差数列又是等比数列

D. 既不是等差数列也不是等比数列

10. 函数
的图象如图所示，且
在
与
处取得极值，给出下列判断：

①
；

②
；

③函数
在区间
上是增函数。

其中正确的判断是（ ）

A. ①③ B. ② C. ②③ D. ①②

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。

11.
＝____________。

12. 已知函数
，则
＝____________。

13. 若
，则
的取值范围是____________。

14. 已知函数
是奇函数，且当
时，
，则
＝____________。

15. 已知函数
则方程
的解为____________；若关于x的方程
有两个不同的实数解，则实数k的取值范围是____________。

16. 若在区间
上存在实数x使
成立，则a的取值范围是____________。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分13分）

已知集合
。

（Ⅰ）求集合
；

（Ⅱ）若
，求实数a的取值范围。

18. （本小题满分13分）

已知数列
是公差为－2的等差数列，
是
与
的等比中项。

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
的前n项和为
，求
的最大值。

19. （本小题满分13分）

已知一次函数
满足
。

（Ⅰ）求
的解析式；

（Ⅱ）求函数
的值域。

20. （本小题满分14分）

已知函数
。

（Ⅰ）当
时，求曲线
在
处切线的斜率；

（Ⅱ）求
的单调区间；

（Ⅲ）当
时，求
在区间
上的最小值。

21. （本小题满分13分）

某商场预计从2013年1月份起的前x个月，顾客对某商品的需求总量p（x）（单位：件）与x的关系近似的满足
，且
）。该商品第x月的进货单价q（x）（单位：元）与x的近似关系是

（Ⅰ）写出这种商品2013年第x月的需求量f（x）（单位：件）与x的函数关系式；

（Ⅱ）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问该商场2013年第几个月销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？

22. （本小题满分14分）

已知函数
。

（Ⅰ）求
的单调区间；

（Ⅱ）若
在区间
上的最小值为e，求k的值。

【试题答案】

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

1. B 2. D 3. C 4. D 5. A 6. C 7. C 8. D 9. B 10. C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11. 1 12. 0 13.
14. 1 15.

16.

注：一题两空的试题，第一空3分，第二空2分。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

17. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由
，得
。 3分

解不等式
，得
，

所以
。 6分

所以
，

所以
。 9分

（Ⅱ）因为
，

所以
11分

解得
。

所以，实数a的取值范围是
。 13分

18. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为
是
与
的等比中项，

所以
。 2分

因为数列
是公差为－2的等差数列，

所以
， 4分

解得
。 6分

所以
。 8分

（Ⅱ）解
，即
，得
， 10分

故数列
的前3项大于零，第4项等于零，以后各项均小于零。

所以，当
或
时，
取得最大值。 11分

。

所以
的最大值为12。 13分

19. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由已知，得
， 3分

解得
。

所以函数
的解析式为
。 6分

（Ⅱ）
。

当
时，
，

当且仅当
，即
时等号成立， 8分

所以
。 10分

当
时，因为
，

所以
，

当且仅当
，即
时等号成立， 11分

所以
。 12分

所以，函数
的值域为
。 13分

20. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）当
时，
， 2分

故曲线
在
处切线的斜率为
。 4分

（Ⅱ）
。 6分

①当
时，由于
，故
。

所以，
的单调递减区间为
。 8分

②当
时，由
，得
。

在区间
上，
，在区间
上，
。

所以，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
。 10分

综上，当
时，
的单调递减区间为
；当
时，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
。 11分

（Ⅲ）根据（Ⅱ）得到的结论，

当
，即
时，
在区间
上的最小值为
，

。 13分

当
，即
时，
在区间
上的最小值为
，

。

综上，当
时，
在区间
上的最小值为
，当
，
在区间
上的最小值为
。 14分

21. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）当
时，
， 2分

当
，且
时，

。 4分

经验证
符合
。

故2013年第x月的需求量
，且
）。 5分

（Ⅱ）该商场预计第x月销售该商品的月利润为

7分

即
8分

当
时，
，

令
，解得
或
（舍去）。

所以，当
时，
；当
时，
。

当
时，
的最大值为
元。 10分

当
时，
是减函数，

所以，当
时，
的最大值为
元。 12分

综上，该商场2013年第5个月销售该商品的月利润最大，最大月利润为3125元。

13分

22. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）
。 3分

当
时，
，函数
在R上是增函数。

当
时，在区间
和
上
，函数
在R上是增函数。 5分

当
时，解
，得
，或
。解
，得
。

所以函数
在区间
和
上是增函数，在区间
上是减函数。

综上，当
时，
是函数
的单调增区间；当
时，
和
是函数
的单调递减区间，
是函数
的单调递减区间。

7分

（Ⅱ）当
时，函数
在R上是增函数，

所以
在区间
上的最小值为
，

依题意，
，解得
，符合题意。 8分

当
，即
时，函数
在区间
上是减函数。

所以
在区间
上的最小值为
，

解
，得
，不符合题意。 9分

当
，即
时，函数
在区间
上是减函数，在区间
上是增函数。

所以
在区间
上的最小值为
， 10分

解
，即