玉溪一中2013—2014下学期期末考试

高二（2015届）理科数学 命题人：姚艳萍

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

1．已知是虚数单位，
，则
=( )

A. B. C.
D.

2.“
”是“
”的（ ）

A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.函数
处的切线方程是( )

A．
B．
C．
D．

4. 已知向量
满足
,则向量
夹角的余弦值为 （　　）

A．
B．
C．
D．

5.已知等差数列
的公差和首项都不等于0，且
，
，
成等比数列，则
( )

A. 2 B. 3 C. 5 D. 7

6. 若
展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）

A．
B．
C．
D．

7.过
所在平面外一点，作
,垂足为
,连接
。若
则点
（ ）

A.垂心 B. 外心 C.内心 D. 重心

8. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 设锐角
的三内角、、
所对边的边长分别为、
、，且
，
, 则
的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

10. 已知双曲线
，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.

11.函数
的图像恒过定点A,若点A在直线
上，其中
的最小值为（ ）

A.6 B.8 C.4 D.10

12. 函数
在定义域R内可导，若

，若

则
的大小关系是( )

A．
B．
　　　 C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡对应题号的横线上。

13.已知
,且是第二象限角,那么
=

14．已知变量，满足约束条件
则
的最大值为 .

15.已知曲线C的极坐标方程是
，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线
的参数方程为 (t为参数)，则直线
被曲线C截得的线段长为

16. 如图，已知球的面上有四点
，
平面
,
,
,则球的表面积为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。将答案写在答题卡对应题号的区域内。

17. （本小题满分10分）

已知关于的不等式

．

(1)当
时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R，求实数的取值范围．

18. （本小题满分12分）

已知数列
是等差数列，
，数列
的前项和为
，且
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）记
，若
对任意的
恒成立，求实数的取值范围．

19. （本小题满分12分）

设有关于的一元二次方程

(1)若是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，
是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；

(2)若是从区间[0,3]任取的一个数，
是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

20.（本小题满分12分）

如图是多面体
和它的三视图．

(1)若点是线段
上的一点，且
,求证：
;

(2) 求二面角
的余弦值．

21. （本小题满分12分）

已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为
和
，且|

|=2，

点（1，
）在该椭圆上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过
的直线与椭圆C相交于A，B两点，若A
B的面积为
，求以
为圆心且与直线相切圆的方程．

22．（本小题满分12分）

已知函数
，为常数．

（1）若
，求函数
在
上的值域；（为自然对数的底数，
）

（2）若函数
在
上为单调减函数，求实数的取值范围.

玉溪一中2013——2014下学期期末考试

高二理科数学 答案

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



选项

C

B

D

B

A

A

B

A

A

B

B

B





填空题

13.
14.6 15.
16.

三．解答题：

17.（本题10分）

18.（本题12分）

解答：(Ⅰ)由已知得
，解得
所以
………….4分

（Ⅱ）
，（1）

当
时，
，
当
时，
（2）

（1）-（2）得
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
，所以

--

所以当
时，
取到最大值
，所以
，即
…………12分

19.（本题12分）

解　设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．

当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.

(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P(A)＝＝……..6分

(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，所以所求的概率为P(A)＝＝………..12分

20.（本题12分）

解：(1)由题意知AA1，AB，AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(－2，0，0)，C(0，－2，0)，C1(－1，－1，2)，则＝(－1，1，2)，＝(－1，－1，0)，＝(0，－2，－2)．(1分)

设E(x，y，z)，则＝(x，y＋2，z)，

＝(－1－x，－1－y，2－z)．(3分)

＝2，得E(

=

设平面C1A1C的法向量为m＝(x，y，z)，则由，

得，取x＝1，则y＝－1，z＝1.故m＝(1，－1，1)，

=
， BE⊥平面A1CC1.(6分)

(2)由（1）知，平面C1A1C的法向量为m＝(1，－1，1)

而平面A1CA的一个法向量为n＝(1，0，0)，则cos〈m，n〉＝＝＝，故二面角
的余弦值
.(12分)

21.（本题12分）（1）椭圆C的方程是
………4分

（2）当直线
轴时，可得
的面积为3，不合题意。

当直线
与轴不垂直时，设其方程为
，代入椭圆方程得:

则
，可得

又圆
的半径
，∴
的面积

=
，化简得：

，得k=±1，∴r =
，圆的方程为
…（12分）

22.（本题12分）

解：（1）由题意
，

当
时，

在
为减函数，
为增函数 …………4分

又
比较可得

的值域为
…………6分

（2）由题意得
在
恒成立

恒成立 …………8分

设

当
时
恒成立

即实数的取值范围是
…………12分