江西省吉安县二中2013-2014学年高二下学期期中考试数学（理）试题

一、选择题（5×10=50分）

1、正弦曲线y=sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是（ ）

A. [0，
]U[
） B. [0，） C. [
，
] D. [0，
]U（
，
]

2、在(1－x)5+(1－x)6+(1－x)7+(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是（ ）

A．74 B．121 C．－74 D．－121

3、某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方法的种数有（ ）

A．35 B．70 C．210 D．105

4、由曲线y2=x与y=x，y=
所围成图形的面积是（ ）

A．
B．

C．
D．

5、点P是曲线y=x2－lnx上任意点，则点P到直线y=x－2的最短距离为（ ）

A．1 B．
C．
D．3

6、
展开式中不含x4项的系数的和为（ ）

A．2 B．1 C．0 D．－1

7、对任意复数z=x+yi(x,y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）

A．|z|≤|x|+|y| B．|z－
|≥2x C．z2=x2+y2 D．|z－
|=2y

8、已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2－x)－x2+8x－8，则曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程是（ ）

A.y=2x－1 B.y=x C.y=3x－2 D.y=－2x+3

9、在某次数学测验中，记座号为n(n=1,2,3,4)的同学成绩为f(n),若f(n)∈｛70，85，88，90，98，100｝，且满足f(1)

A.15 B.20 C.30 D.35

10、对于问题：“两两相交且任三条不共点的n条直线把平面分为f(n)部分”，我们由归纳推理得到f(10)=（ ）

A.54 B.55 C.56 D.57

二、填空题（5×5=25分）

11、函数y=f(x)在定义域(－
,3)内可导，其图象如右，记y=f(x)的导函数为y=
,则不等式

≤0的解集为 。

12、由两曲线y=sinx(x∈[0, 2π])和y=cosx(x∈[0, 2π])所围成的封闭图形的面积为 。

13、若对任意实数x，有x3=a0+a1(x－2)+a2(x－2)2+a3(x－2)3，则a2的值为 。

14、已知函数f(x)满足f(p+q)=f(p)f(q)，f(1)=3, 则
+

=

15、下面命题：①O比－i大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数时成立;③x+yi=1+i的充要条件是x=y=1；④如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应；⑤设z为复数，则有|z|2=
.

吉安县二中高二第二学期期中联考数学答题卷(理)

2014.4

一、选择题（5×10 = 50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案























二、填空题（每小题5分，共25分）

11. 12.

13. 14.

15.

三、解答题（本大题6小题，共75分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

三、解答题：（12×4+13+14=75分）

16、已知：sin215°+sin275°+sin2135°=
,

sin230°+sin290°+sin2150°=
，

sin245°+sin2105°+sin2165°=
，

通过观察上述三个等式的规律，请你写出一般性的命题，并对该命题进行证明。

17、已知z是复数，z+2i,
均为实数（i为虚数单位），且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围。

18、有一条直线与抛物线y=x2相交于A，B两点，线段AB与抛物线所围成的面积恒等于
，求线段AB的中点P的轨迹方程。

19、已知f(x)=
展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992。

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求展开式中系数最大的项。

20、某篮球赛甲、乙两队进入最后决赛，其中甲队有6名打前锋位，4名打后位，另有2名既能打前锋位又能打后位的全能型队员；乙队有4名打前锋位，3名打后位，另有5名既能打前锋位又能打后位的全能型队员。问：

（1）甲队有多少种不同的出场阵容？

（2）乙队又有多少种不同的出场阵容？（注：每种出场阵容中含3名前锋位和2名后位）

21、已知函数f(x)=lnx, g(x)=
(a>0)，设F(x)=f(x)+g(x)

（1）求F(x)的单调区间；

（2）若以y=F(x)（x∈(0,3]）图像上任意一点P(x0, y0)为切点的切线的斜率k≤
恒成立，求实数a的最小值。

（3）是否存在实数m, 使得函数y=g(
)+m－1的图象与y=f(1+x2)的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由。

吉安县第二中学2013~2014学年第二学期期中联考

高二年级理科数学参考答案

一、选择题（5×10=50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

D

B

D

B

C

A

A

D

C





二、填空题（5×5=25分）

11、[－
，1] [2，3） 12、2
13、6 14、24 15、⑤

三、解答题：（12×4+13+14=75分）

16、结论：sin2α+sin2(α+60°)+sin2(α+120°)=
（6分）

证题思路：对左边先降幂，再利用和角公式展开合并即证得。 （12分）

17、设z=x+yi(x, y∈R)

∵z+2i=x+(y+2)i 由题意得：y=－2 （3分）

∵

由题意得x=4 ∴z=4－2i （6分）

∵(z+ai)2=(12+4a－a2)+8(a－2)i （6分）

由题意可知

解得：2

∴实数a的取值范围是（2，6）。 （12分）

18、设A(a, a2), B(b, b2) (a

则直线AB与抛物线围成图形的面积为：

=

∴
∴b－a=2 （6分）

设线段AB的中点P(x,y)，其中x=
, y=
, 将b－a=2

即b=a+2代入得：

消去a得：y=x2+1

故所求的轨迹方程为：y=x2+1 （12分）

19、（1）令x=1，得二项展开式各项系数和为f(1)=(1+3)n=4n，由题意得：

4n－2n=992 (2n)2－2n－992=0

∴(2n+31)(2n－32)=0
（3分）

∴展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是：

T3=

T4=
（6分）

（2）展开式通项公式为Tr+1=

r=0, 1…5

假设Tr+1项系数最大，则有：

（9分）

解得：
∵r∈N+

∴r=4 ∴展开式中系数最大项为T5=
（12分）

20、（1）甲队按全能队员出场人数分类：

I．不选全能队员：

II．选1名全能队员：

III．选2名全能队员：

故甲队共有120+340+176=636种不同的出场阵容。 （6分）

（2）乙队按3名只会打后场的出场人数分类：

I．不选：
II．选1名：
III．选2名：

故乙队共有350+840+252=1442种不同的出场阵容。 （13分）

21、（1）F(x)=f(x)+g(x)=lnx+
(x>0)

(x>0)

∵a>0 由

由

∴F(x)的单调减区间为(0, a)

F(x)的单调增区间为（a, +∞） （4分）

（2）

，当x0=1时，

取最大值
∴a

∴amin=
（8分）

（3）若y=g
的图像与

y=f(1+x2)=ln(x2+1)的图像恰有四个不同交点，即

有四个不同的根，亦即

m=
有四个不同的根。

令G(x)=ln(x2+1)－
则

当x变化时，
，G(x)的变化如下表：

x

（－∞，－1）

（－1，0）

（0，1）

（1，+∞）




符号

+

－

+

－



G(x)的单调性

↑

↓

↑

↓



由表格知：G(x)极小值=G(0)=
G(x)极大值=G(1)=G(－1)=ln2

画出草图可知，当m∈（
，ln2）时，y=G(x)与y=m恰有四个不同的交点

∴当m∈（
，ln2）时，y=g(
)+m－1=
x2+m－
的图象与y=f(1+x2)=ln(x2+1)

的图象恰有四个不同的交点。 （14分）