杭十四中二〇一三学年第二学期中考试

高二年级数学（理）学科试卷

注意事项：

1．考试时间：2014年4月22日10时20分至11时50分；

2．答题前，务必先在答题卡上正确填涂班级、姓名、准考证号；

3．将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效．请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效；

4．其中本卷满分100分．共4页；附加题20分；

5．本试卷不得使用计算器。

一、选择题：共10小题，每小题3分，计30分。

若集合M={y|y=2x}, P={x|y=
}, M∩P=（ ）

A．
B．
C．
D．

抛物线
的准线方程是
，则的值为（ ）

A．
B．
C．8 D．

函数
的定义域是（ ）

A．
B．
C．
D．

下列四个命题：

，
”是全称命题；

命题“
，
”的否定是“
，使
”；

若
，则
；

若
为假命题，则、均为假命题．

其中真命题的序号是（ ）

A．①② B．①④ C．②④ D．①②③④

设A，B两点的坐标分别为(－1,0), (1,0)，条件甲：点C满足
； 条件乙：点C的坐标是方程  +  = 1 (y(0)的解. 则甲是乙的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

Ｃ.充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件

已知命题：函数
在
内单调递减；
：曲线
与轴没有交点．如果“或
”是真命题，“且
”是假命题，则实数的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．设函数
关于x的方程
的解的个数不可能是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

8．已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是(　　)

A．x－2y＝0 B．x＋2y－4＝0 C．2x＋3y＋4＝0 D．x＋2y－8＝0

9．函数
的图象大致是( )

10．如图，⊙O：
，
，
为

两个定点，
是⊙O的一条切线，若过A，B两点的抛

物线以直线
为准线，则该抛物线的焦点的轨迹是( )

A．圆 B．双曲线

C．椭圆 D．抛物线

二、填空题：共7小题，每小题4分，计28分。

11．若椭圆
的离心率是
，则的值为 ．

12．已知
：
，
：
，若是
的充分不必要条件，则实数的取值范围是　　　　　　　　.

13．已知函数
是R上的减函数，则的取值范围是_____．

14．若双曲线
的渐近线与方程为
的圆相切，则此双曲线的离心率为????????? ．

15．函数
，若
＜2恒成立的充分条件是
，则实数的取值范围是　　　　　　．

16．过抛物线
的焦点的直线
与抛物线交于A．B两点，且△OAB（O为坐标原点）的面积为
，则
=???????????????? .

17．设二次函数
在[3,4]上至少有一个零点，则
的最小值为??????????????? .

三、解答题：共4小题，计42分。

18．（本小题满分10分）已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋2.

(1)求f(x)的表达式；

(2)画出f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间．

19．（本小题满分10分）已知函数
（为实常数）．

（1）若
，求函数
的单调区间；

（2）设
在区间
上的最小值为
，求
的表达式．

20．（本小题满分10分）已知线段
，
的中点为，动点满足
（为正常数）．

（1）建立适当的直角坐标系，求动点所在的曲线方程；

（2）若
，动点满足
，且
，试求
面积的最大值和最小值．

21．（本小题满分12分）无论为任何实数，直线
与双曲线
恒有公共点. （1）求双曲线的离心率的取值范围；

（2）若直线过双曲线的右焦点，与双曲线交于
两点，并且满足
，求双曲线的方程.

四、附加题：本大题共2小题，共20分．

22．（1）（本小题满分5分）若函数f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是(　　)

A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，－1]

（2）（本小题满分5分）已知函数
．则有
的极大值为________．

23．（本小题满分10分）设函数

（1）若
时函数
有三个互不相同的零点，求的范围；

（2）若函数
在
内没有极值点，求的范围；

（3）若对任意的
，不等式
在
上恒成立，求实数的取值范围．

杭十四中二〇一三学年第一学期末考试

高二年级数学（理）学科试卷答案

一．选择题

A A D B B A A  D A C

二．填空题

3或


 2 1＜＜4 2 17. 0.01

三．解答题

18．解： (1)设x<0，则－x>0，

∴f(－x)＝－(－x)2－2x＋2＝－x2－2x＋2.

又∵f(x)为奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝x2＋2x－2.

又f(0)＝0，∴f(x)＝



(2)先画出y＝f(x)(x>0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f(x)(x<0)的图象，其图象如右图所示．由图可知，其增区间为[－1,0)和(0,1]，减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)．

19．（1）当
时，

作图（如右所示）

增区间
，
，减区间
，

（2）当
时，

若
，则
在区间
上是减函数，

若≠0，则
，
图像的对称轴是直线
．

当＜0时，
在区间
上是减函数，
,

当
，即
时，
在区间
上时增函数，

当
，即
时，
，

当
，即0
时，
在区间
上是减函数，
．

综上可得

20．解：（1）以为圆心，
所在直线为轴建立平面直角坐标系.若
，即
，动点所在的曲线不存在；若
，即
，动点所在的曲线方程为
；若
，即
，动点所在的曲线方程为
.……4分

(2)当
时，其曲线方程为椭圆
.由条件知
两点均在椭圆
上，且

设
，
，
的斜率为
，则
的方程为
，
的方程为
解方程组
，得
，

同理可求得
，

面积
=

令
则

令
所以
，即

当
时，可求得
,故
，

故的最小值为
，最大值为1.

21．解：（1）把
代入双曲线
整理得
当
时，直线与双曲线无交点，这与直线与双曲线恒有公共点矛盾，
. 当
时，直线与双曲线恒有公共点
恒成立. 即
恒成立.

综上所述e的取值范围为（

（2）设F（，0），则直线
的方程为
把
代入双曲线
整理得

设两交点为
、
，则

∴所求双曲线C的方程为

附加题：

22．（1）D （2）

23．解：（1）当
时
，

因为
有三个互不相同的零点，所以
，

即
有三个互不相同的实数根。

令
，则
。

因为
在
和
均为减函数，在
为增函数，

的取值范围

（2）由题可知，方程
在
上没有实数根，

因为
，所以

（3）∵
，且
，

∴函数
的递减区间为
，递增区间为
和
；

当
时，
又
，

∴
而

∴
，

又∵
在
上恒成立，

∴
，即
，即
在
恒成立。

∵
的最小值为