余姚市2 014学年度第 一 学 期高二数学（理科）期中试题

一、选择题：本大题共10题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的．（1）设全集
，集合
，则
=（ ）．

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）函数
的定义域是（ ）．

（A）（0，2） （B）[0，2] （C）
（D）

（3）等差数列
前项和为
，若
．则当
取最小值时，
（ ）．

（A）6 （B）7 （C）8 （D）9

（4）在
中,已知
,则
等于（ ）．

（A）19 （B）
（C）
（D）

（5）已知
，则
的值为（ ）．

（A）
（B）
（C）
（D）

（6）在
中，“
”是“
”的（ ）．

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（7）若数列
，
，
，…，
，…是首项为，公比为
的等比数列，则
为（　 　）．

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）已知
，实数、
、满足
,且
，若实数
是函数
的一个零点，则下列不等式中，不可能成立的是（ ）．

（A）
（B）
（C）
（D）

（9）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC．若|
|=，

|
|=
，则
=（　　）

（A）
（B）
（C）
（D）

（10）设函数
满足
．且当
时，有

.又函数
，则函数
在
上的零点个

数为 ( ) ．

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

（11）
　 ▲　　．

（12）已知函数
的最小正周期为,则
的单调递增区间

为　 ▲　 　．

（13）若两个非零向量
,
满足
,则
与
的夹角为▲ ．

（14）已知
中,三个内角A,B,C的对边分别为
．若
的面积为S,且

等于　 ▲　　．

（15）若方程
有解，则实数的取值范围是　 ▲　 　．

（16）如图，在面积为1的正
内作正
，使
，
，
，依此类推， 在正
内再作正
，……．记正
的面积为
， 则a1＋a2＋……＋an＝　 ▲　　．

（17） 设函数
，已知存在
，
使得

，
，则
的取值范围是 ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（18）（本小题满分14分）函数
的部分图像如图

所示．A为图像的最高点，B，C为图像与轴的交点，且

为正三角形．

(1)若
，求函数
的值域；

(2)若
，且
，求
的值．

（19）(本题满分14分) 设
的内角
所对的边长分别为
,
,
,且
.

(1)求角的大小；

(2)若角
,
边上的中线
的长为
,求
的面积.

（20）（本小题满分14分）已知数列
中,
.

(1)求证：
为等比数列，并求
的通项公式
；

(2)数列
满足
,数列
的前n项和为
,若不等式
对一切
恒成立,求
的取值范围.

（21）(本题满分15分)设函数
．

（1）判断函数
的奇偶性；

（2）若
，试判断函数
的单调性．并求使不等式

对一切
恒成立的的取值范围；

（3）若
，
且
在
上的最小值为
，

求的值．

（22）(本题满分15分) 已知函数
.

（1）若
为偶函数，求的值；

（2）若
，求函数
的单调递增区间；

（3）当
时，若对任意的
，不等式
恒成立，求实数的取值范围.

余姚市2 014学年度第 一 学 期高二数学（理科）期中试题答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

题目

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



选项



A

D

A

D

C

C

C

D

B

B



二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．
12．
13．

14．
　　　　15．
　　　16．
17．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分14分）

解(1)由已知得:

又
为正三角形,且高为
,则BC=4.所以函数
的最小正周期为8,即
,
. …………5分

因为
,所以
.

函数
的值域为
……………8分

(2)因为
,有

…………10分

由x0

所以，
…………12分

故

………………………14分

19．（本小题满分14分）

解：（1）

即

即

，
…………7分

（2）由（1）得
，

设

在

即

，故
…………14分

20．（本小题满分14分）

(1)
…………5分

(2)
，用错位相减法可得
…………10分

，

若n为偶数,则
若n为奇数,则
，

…………14分

21．（本小题满分15分）

(1)
的定义域为，关于原点对称，

，
为奇函数。 …………4分

（2）

故f(x)在R上单调递减 …………6分

不等式化为

，解得
…………9分

…………10分

，由（1）可知
为增函数

令h(t)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2　(t≥) …………13分

若m≥，当t＝m时，h(t)min＝2－m2＝－2，∴m＝2

若m<，当t＝时，h(t)min＝－3m＝－2，解得m＝>，舍去

综上可知m＝2 …………15分

22．（本小题满分15分）

解：(1)解法一：任取
，则
恒成立，即

恒成立.

∴
恒成立，两边平方得：

∴
…………4分

(1)解法二：因为函数
为偶函数，所以
，得
，得：

经检验，当
时函数
为偶函数，∴
…………4分

(2)若
，则
.

由函数的图像可知，函数的单调递增区间为
及
…………8分

(如果写成
,得7分)

(3)不等式
化为
，即：

(*)对任意的
恒成立.

因为
.所以分如下情况讨论：

①
时，不等式(*)化为
，即

对任意的
恒成立，

因为函数
在区间
上单调递增，则只需
即可，得
，又
∴

②
时，不等式(*)化为
，即

对任意的
恒成立，

由①，
，知：函数
在区间
上单调递减，则只需
即可，即
，得
或
.

因为
所以，由①得
.

③
时，不等式(*)化为
，即

对任意的
恒成立，

因为函数
在区间
上单调递增，则只需
即可，即
，得
或
，由②得
.

综上所述，的取值范围是
. …………15分