杭十四中二〇一三学年第二学期中考试

高二年级数学（文）学科试卷

注意事项：

1．考试时间：2014年4月22日10时20分至11时50分；

2．答题前，务必先在答题卡上正确填涂班级、姓名、准考证号；

3．将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效．请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效；

4．其中本卷满分100分．共4页；附加题20分；

5．本试卷不得使用计算器。

一、选择题：共10小题，每小题3分，计30分。

若集合M={y|y=2x}, P={x|y=
}, M∩P=（ ）

A．
B．
C．
D．

抛物线
的准线方程是
，则的值为（ ）

A．
B．
C．8 D．

函数
的定义域是（ ）

A．
B．
C．
D．

下列四个命题：

，
”是全称命题；

命题“
，
”的否定是“
，使
”；

若
，则
；

若
为假命题，则、均为假命题．

其中真命题的序号是（ ）

A．①② B．①④ C．②④ D．①②③④

设A，B两点的坐标分别为(－1,0), (1,0)，条件甲：点C满足
； 条件乙：点C的坐标是方程  +  = 1 (y(0)的解. 则甲是乙的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

Ｃ.充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件

已知命题：函数
在
内单调递减；
：曲线
与轴没有交点．如果“或
”是真命题，“且
”是假命题，则实数的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．设函数
关于x的方程
的解的个数不可能是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

8．已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是(　　)

A．x－2y＝0 B．x＋2y－4＝0 C．2x＋3y＋4＝0 D．x＋2y－8＝0

9．已知定义域为R的函数满足f(a＋b)＝f(a)·f(b)(a，b∈R)，且f(x)>0，若f(1)＝，则f(－2)＝(　　)

A. B. C．2 D．4

10．如图，⊙O：
，
，
为

两个定点，
是⊙O的一条切线，若过A，B两点的抛

物线以直线
为准线，则该抛物线的焦点的轨迹是( )

A．圆 B．双曲线

C．椭圆 D．抛物线

二、填空题：共7小题，每小题4分，计28分。

11．若椭圆
的离心率是
，则的值为 .

12．已知
：
，
：
，若是
的充分不必要条件，则实数的取值范围是　　　　　　　　.

13．已知函数
是R上的减函数，则的取值范围是_____.

14．若双曲线
的渐近线与方程为
的圆相切，则此双曲线的离心率为????????? ．

15．函数
，若
＜2恒成立的充分条件是
，则实数的取值范围是　　　　　　．

16．过抛物线
的焦点的直线
与抛物线交于A．B两点，且△OAB（O为坐标原点）的面积为
，则
=???????????????? .

17．若关于x的方程25－|x＋1|－4·5－|x＋1|－m＝0有实根，则实数m的取值范围为________．

三、解答题：共4小题，计42分。

18．（本小题满分10分）已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋2.

(1)求f(x)的表达式；

(2)画出f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间．

19．（本小题满分10分）已知函数
和
的图像关于原点对称，且
．

（1）求
的表达式；

（2）若
在
上是增函数，求实数
的取值范围．

20．（本小题满分10分）已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．求证：

(1)x1x2为定值；

(2)＋为定值．

21．（本小题满分12分）已知线段
，
的中点为，动点满足
（为正常数）．

（1）建立适当的直角坐标系，求动点所在的曲线方程；

（2）若
，动点满足
，且
，试求
面积的最大值和最小值．

四、附加题：本大题共2小题，共20分．

22．（1）（本小题满分5分）已知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x＋a，若函数g(x)＝f(x)－x的零点恰有两个，则实数a的取值范围是(　　)

A．a<0 B．a≤0

C．a≤1 D．a≤0或a＝1

（2）（本小题满分5分）对于函数f(x)＝log2x在其定义域内任意的x1，x2且x1≠x2，有如下结论：

①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；

②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；

③>0；

④f()<.

上述结论中正确结论的序号是________．

23．（本小题满分10分）已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件：

①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；

②f(1)＝1；

③当x1，x2∈[0,1]，且x1＋x2∈[0,1]时，f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立．

称这样的函数为“友谊函数”．

请解答下列各题：

(1)已知f(x)为“友谊函数”，求f(0)的值；

(2)函数g(x)＝2x－1在区间[0,1]上是否为“友谊函数”？请给出理由；

(3)已知f(x)为“友谊函数”，假定存在x0∈[0,1]，使得f(x0)∈[0,1]，且f[f(x0)]＝x0，求证：f(x0)＝x0.

杭十四中二〇一三学年第二学期中考试

高二年级数学（文）学科试卷答案

一．选择题

A A D B B A A  D D C

二．填空题

3或


 2 1＜＜4 2 17. [－3,0)

三．解答题

18．(1)设x<0，则－x>0，

∴f(－x)＝－(－x)2－2x＋2＝－x2－2x＋2.

又∵f(x)为奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝x2＋2x－2.

又f(0)＝0，∴f(x)＝



(2)先画出y＝f(x)(x>0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f(x)(x<0)的图象，其图象如右图所示．由图可知，其增区间为[－1,0)和(0,1]，减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)．

19．(1)设函数
的图象上任意一点
关于原点的对称点为
，则

∵点
在函数
的图象上

∴

（2）

①

②

ⅰ）

ⅱ）

20．(1)抛物线y2＝2px的焦点为F，设直线AB的方程为y＝k(k≠0)．

由消去y，得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0.

由根与系数的关系，得x1x2＝(定值)．

当AB⊥x轴时，x1＝x2＝，x1x2＝，也成立．

(2)由抛物线的定义，知|FA|＝x1＋，|FB|＝x2＋.

＋＝＋＝＝＝＝(定值)．

当AB⊥x轴时，|FA|＝|FB|＝p，上式仍成立．

21．解：（1）以为圆心，
所在直线为轴建立平面直角坐标系.若
，即
，动点所在的曲线不存在；若
，即
，动点所在的曲线方程为
；若
，即
，动点所在的曲线方程为
.……4分

(2)当
时，其曲线方程为椭圆
.由条件知
两点均在椭圆
上，且

设
，
，
的斜率为
，则
的方程为
，
的方程为
解方程组
，得
，

同理可求得
，

面积
=

令
则

令
所以
，即

当
时，可求得
,故
，

故的最小值为
，最大值为1.

附加题：

22．（1）D （2）②③

23．解： (1)令x1＝1，x2＝0，则x1＋x2＝1∈[0,1]．

由③，得f(1)≥f(0)＋f(1)，即f(0)≤0.

又由①，得f(0)≥0，所以f(0)＝0.

(2)g(x)＝2x－1是友谊函数．

任取x1，x2∈[0,1]，x1＋x2∈[0,1]，有2x1≥1,2x2≥1.

则(2x1－1)(2x2－1)≥0.

即g(x1＋x2)≥g(x1)＋g(x2)．又g(1)＝1，

故g(x)在[0,1]上为友谊函数．

(3)取0≤x1

因此，f(x2)≥f(x1)＋f(x2－x1)≥f(x1)．

假设f(x0)≠x0，

若f(x0)>x0，则f[f(x0)]≥f(x0)>x0.

若f(x0)

都与题设矛盾，因此f(x0)＝x0.